Wedges and plate-bandes: mechanical theories after De la Hire

Plate-bandes are straight masonry arches (they are called, also, flat arches or lintel arches). Ideally they have the surfaces of extrados and intrados plane and horizontal. The stones or bricks have radial joints converging usually in one centre. The voussoirs have the form of wedges and in French they are called "claveaux". A plate-bande is, in fact, a lintel made of several stones and the proportions of lintels and plate-bandes are similar. Proportions of plate-bandes, that is the relationship between the thickness t and the span s (t/s)varies, typically between 1/4–1/3 in thick plate-bandes, and is less than 1/20 in the most slender ones. A ratio of circa 1/8 was usual in the 18th Century and follows a simple geometrical rule: the centre form with the intrados an equilateral triangle and the plate-bande should contain an arc of circle. The joints are usually plane, but in some cases present a «rebated» or «stepped» form. Plate-bandes exert an inclined thrust as any masonry arch. This thrust is usually very high and it requires either massive buttresses, or to be built in the middle of thick walls. Master builders and architects have tried since antiquity to calculate the abutment necessary for any arch. A modern architect or engineer will measure the arch thrust in units of force, kN or tons. Traditionally, the thrust has been measured as the size of the buttresses to resist it safely. Old structural rules, then, addressed the design problem establishing a relationship between the span and the depth of the buttress. These were empirical rules, particular for every type of arch or structure in every epoch. Thus, the typical gothic buttress is 1/4 of the vault span, but a Renaissance or baroque barrel vault will need more than 1/3 of the span. A plate-bande would require more than one half of the span; this is precisely the rule cited by the French engineer Gautier, who tried unsuccessfully to justify it by static reasons. They were used, typically, to form the lintels of windows or doors (1-2 m, typically); in Antiquity they were used, also, though rarely, at the gates of city walls or in niches (ca. 2 m, reaching 5.2 m). Plate-bandes may show particular problems: it is not unusual that some sliding of the voussoirs can be observed, particularly in thick plate-bandes. The stepped joints on Fig. 1, left, were used to avoid this problem. There are other «hidden» methods, like iron cramps or the use of stone wedges, etc. In seismic zones these devices were usual. Another problem relates to the deformation; a slight yielding of the abutments, or even the compression of the mortar joints, may lead to some cracking and the descent of the central keystone. Even a tiny descent will convert the original straight line of the intrados in a broken line with a visible «kink» or angle in the middle. Of course, both problems should be avoided. Finally, the wedge form of the voussoirs lead to acute angles in the stones and this can produce partial fractures; this occurs usually at the inferior border of the springers at the abutments. It follows, that to build a successful plate-bande is not an easy matter. Also, the structural study of plate-bandes is far from simple, and mechanics and geometry are related in a particular way. In the present paper we will concentrate on the structural aspects and their constructive consequences, with a historical approach. We will outline the development of structural analysis of plate-bandes from ca. 1700 until today. This brief history has a more than purely academic interest. Different approaches and theories pointed to particular problem, and though the solution given may have been incorrect, the question posed was often pertinent. The paper ends with the application of modern Limit Analysis of Masonry Structures, developed mainly by professor Heyman in the last fifty years. The work aims, also, to give some clues for the actual architect and engineer involved in the analysis or restoration of masonry buildings.

Évaluation de l’aléa et du risque sismique en Haïti dirigée vers la conception parasismique

Après le séisme qui eut lieu en Haïti le 12 janvier 2010, dont l’épicentre a été localisé non loin de la capitale, Port-au-Prince (25 km en direction sud-est), d’une magnitude Mw 7.0 et à une profondeur de 13 km, le pays s’est retrouvé dans une situation catastrophique et d’extrême pauvreté, avec des graves carences en matière de santé, nutrition, éducation et logement. Les effets du tremblement de terre ont été dévastateurs pour la population : on compte plus de 300.000 morts, presque autant de blessés et 1,3 millions de sans-abri logès dans des campements « provisoires ». Quant aux conséquences matérielles, le séisme a totalement détruit près de 100.000 maisons et endommagé près de 200.000 (source : USGS). Ce tremblement de terre a été le plus fort enregistré dans la zone depuis 1770. De plus le séisme fut perceptible dans des pays voisins comme Cuba, la Jamaïque et la République Dominicaine, où il a provoqué l’alarme et des évacuations préventives. La reconstruction du pays reste un sujet prioritaire pour la coopération internationale. Le présent projet, SISMO-HAITÍ, a été développé dans le but d’apporter la connaissance et l’information nécessaires afin de faciliter la prise de mesures préventives face au risque sismique existant, afin d’éviter qu’un éventuel futur séisme ne déclenche une nouvelle catastrophe. Dans le cas d’Haïti, aucune institution n’était chargée d’assurer une surveillance sismique, mais un contact direct a été établi avec l’Observatoire National de l’Environnement et de la Vulnérabilité (ONEV) en Haïti à travers son directeur Dwinel Belizaire Ing. M. Sc., qui est précisément celui qui a sollicité l’aide qui a motivé la présente proposition. Le but ultime de ce projet est l’étude des mesures d’atténuation du risque élevé qui demeure, contribuant ainsi au développement durable de la région. Dans cette optique, la menace sismique en Haïti a été évaluée, constituant la base sur laquelle on prétend élaborer des critères de conception parasismique pour la reconstruction du pays qui pourront être inclus dans la première version de la norme antisismique, ainsi que le risque sismique à Port-au-Prince, dont les résultats serviront de base pour élaborer les plans d’urgence face à ce risque naturel. Les objectifs spécifiques atteints sont : • Évaluation de l'aléa sismique en Haïti. On en obtient des cartes de différents paramètres de mouvement pour différentes probabilités de dépassement (ce qui suppose connaître la probabilité associée aux mouvements dus à des tremblements futurs). • Évaluation de l'effet local à Port-au-Prince et élaboration d'une carte de microzonage de la ville. • Étude de la vulnérabilité sismique locale à Port-au-Prince. • Estimation du risque sismique à Port-au-Prince. • Mesures d'atténuation du risque et de conception parasismique. Ce rapport résume les activités et les résultats obtenus a cours de l'année 2011 lors de la mise en œuvre de ce projet. Le groupe de travail est une équipe multidisciplinaire composée de chercheurs de différents établissements universitaires et de recherche (Université Polytechnique de Madrid-UPM-, Conseil Supérieur de la Recherche Scientifique (CSIC) ; U. Complutense de Madrid-UCM-, U-UA-Alicante, Almeria-UAL-U., U. Autonome de Saint-Domingue, UASD et Université de Porto Rico Mayagüez--UPRM) experts dans les diverses matières impliquées dans le projet: géologie, sismologie, génie parasismique, architecture et gestion de l'information géographique. Tous les membres de cette équipe ont travaillé ensemble tout au long de l'année, en réalisant des réunions, des ateliers de travail, des vidéoconférences, en plus d'une visite à Port-au-Prince en Juillet 2011 afin de procéder à la première collecte de données.