Estudio de la estructura de autofunciones de sistemas caóticos en una base de funciones de scar

El problema central que aborda esta tesis doctoral es el estudio de la correspondencia entre la mecanica clasica y la mecanica cuantica en sistemas hamiltonianos clasicamente caoticos, tema que se enmarca dentro del llamado caos cuantico. En concreto, en este trabajo proponemos un nuevo y efectivo metodo para calcular las autofunciones de sistemas caoticos usando una base de funciones de scar. Dichas funciones de scar juegan un papel fundamental en el estudio de las manifestaciones cuanticas del caos, ya que se trata de funciones de onda semiclasicas con una dispersion muy peque~na y localizadas a lo largo de las variedades invariantes de las orbitas periodicas inestables del sistema que conforman la estructura organizativa del caos clasico. El metodo de calculo desarrollado se ha denominado Metodo de Gram- Schmidt Selectivo (MGSS), dado que construye la base haciendo uso del metodo de Gram{Schmidt convencional pero teniendo en cuenta, ademas, la dispersi on de las funciones de scar y la longitud de la orbita periodica a lo largo de la cual se localizan. El MGSS nos ha permitido calcular con gran precision las 2400 autofunciones con menor energa de un oscilador cuartico altamente caotico con dos grados de libertad acoplados, as como autofunciones muy excitadas en una ventana de energa, utilizando en ambos casos una base mucho mas eciente que las descritas en la literatura. Ademas, hemos empleado el MGSS para calcular las autofunciones del sistema molecular LiNC/LiCN, que presenta un espacio de fases con zonas de regularidad y con regiones en las que el movimiento es altamente caotico; en este ultimo sistema, hemos calculado de forma muy eciente las autofunciones asociadas a las primeras 66 energas. Finalmente, hemos propuesto un metodo perturbativo para calcular velocidades de reaccion en sistemas abiertos descritos por potenciales anarmonicos. Con este metodo, hemos calculado la velocidad de reaccion de distintos potenciales de uno y dos grados de libertad, as como la velocidad de isomerizacion del sistema molecular LiNC/LiCN, tanto sometido a un ruido blanco (sin correlaciones) como en presencia de un ba~no de atomos de argon, lo que constituye un entorno con correlaciones. El metodo desarrollado es independiente de la supercie divisoria y nos ha permitido obtener correcciones analticas a la famosa formula de Kramers, lo que posibilita el calculo exacto de velocidades de reaccion en potenciales anarmonicos que interaccionan con el entorno.

El Problema de Lambert en el Contexto de Optimización de Trayectorias Espaciales

Esta tesis se basa en el estudio de la trayectoria que pasa por dos puntos en el problema de los dos cuerpos, inicialmente desarrollado por Lambert, del que toma su nombre. En el pasado, el Problema de Lambert se ha utilizado para la determinación de órbitas a partir de observaciones astronómicas de los cuerpos celestes. Actualmente, se utiliza continuamente en determinación de órbitas, misiones planetaria e interplanetarias, encuentro espacial e interceptación, o incluso en corrección de orbitas. Dada su gran importancia, se decide investigar especialmente sobre su solución y las aplicaciones en las misiones espaciales actuales. El campo de investigación abierto, es muy amplio, así que, es necesario determinar unos objetivos específicos realistas, en el contexto de ejecución de una Tesis, pero que sirvan para mostrar con suficiente claridad el potencial de los resultados aportados en este trabajo, e incluso poder extenderlos a otros campos de aplicación. Como resultado de este análisis, el objetivo principal de la Tesis se enfoca en el desarrollo de algoritmos para resolver el Problema de Lambert, que puedan ser aplicados de forma muy eficiente en las misiones reales donde aparece. En todos los desarrollos, se ha considerado especialmente la eficiencia del cálculo computacional necesario en comparación con los métodos existentes en la actualidad, destacando la forma de evitar la pérdida de precisión inherente a este tipo de algoritmos y la posibilidad de aplicar cualquier método iterativo que implique el uso de derivadas de cualquier orden. En busca de estos objetivos, se desarrollan varias soluciones para resolver el Problema de Lambert, todas ellas basadas en la resolución de ecuaciones transcendentes, con las cuales, se alcanzan las siguientes aportaciones principales de este trabajo: • Una forma genérica completamente diferente de obtener las diversas ecuaciones para resolver el Problema de Lambert, mediante desarrollo analítico, desde cero, a partir de las ecuaciones elementales conocidas de las cónicas (geométricas y temporal), proporcionando en todas ellas fórmulas para el cálculo de derivadas de cualquier orden. • Proporcionar una visión unificada de las ecuaciones más relevantes existentes, mostrando la equivalencia con variantes de las ecuaciones aquí desarrolladas. • Deducción de una nueva variante de ecuación, el mayor logro de esta Tesis, que destaca en eficiencia sobre todas las demás (tanto en coste como en precisión). • Estudio de la sensibilidad de la solución ante variación de los datos iniciales, y como aplicar los resultados a casos reales de optimización de trayectorias. • También, a partir de los resultados, es posible deducir muchas propiedades utilizadas en la literatura para simplificar el problema, en particular la propiedad de invariancia, que conduce al Problema Transformado Simplificado. ABSTRACT This thesis is based on the study of the two-body, two-point boundary-value problem, initially developed by Lambert, from who it takes its name. Since the past, Lambert's Problem has been used for orbit determination from astronomical observations of celestial bodies. Currently, it is continuously used in orbit determinations, for planetary and interplanetary missions, space rendezvous, and interception, or even in orbit corrections. Given its great importance, it is decided to investigate their solution and applications in the current space missions. The open research field is very wide, it is necessary to determine specific and realistic objectives in the execution context of a Thesis, but that these serve to show clearly enough the potential of the results provided in this work, and even to extended them to other areas of application. As a result of this analysis, the main aim of the thesis focuses on the development of algorithms to solve the Lambert’s Problem which can be applied very efficiently in real missions where it appears. In all these developments, it has been specially considered the efficiency of the required computational calculation compared to currently existing methods, highlighting how to avoid the loss of precision inherent in such algorithms and the possibility to apply any iterative method involving the use of derivatives of any order. Looking to meet these objectives, a number of solutions to solve the Lambert’s Problem are developed, all based on the resolution of transcendental equations, with which the following main contributions of this work are reached: • A completely different generic way to get the various equations to solve the Lambert’s Problem by analytical development, from scratch, from the known elementary conic equations (geometrics and temporal), by providing, in all cases, the calculation of derivatives of any order. • Provide a unified view of most existing relevant equations, showing the equivalence with variants of the equations developed here. • Deduction of a new variant of equation, the goal of this Thesis, which emphasizes efficiency (both computational cost and accuracy) over all other. • Estudio de la sensibilidad de la solución ante la variación de las condiciones iniciales, mostrando cómo aprovechar los resultados a casos reales de optimización de trayectorias. • Study of the sensitivity of the solution to the variation of the initial data, and how to use the results to real cases of trajectories’ optimization. • Additionally, from results, it is possible to deduce many properties used in literature to simplify the problem, in particular the invariance property, which leads to a simplified transformed problem.