El rigor de la geometría reguladora: aplicaciones de la transgeometría de Pablo Palazuelo en el Dibujo Arquitectónico

En la presente comunicación se trata de enfocar esta exactitud geométrica requerida para la correcta ejecución del dibujo arquitectónico, estableciendo un análisis comparativo con la minuciosa metodología desarrollada por Pablo Palazuelo. De esta manera, se tratará también de determinar su posible aplicación docente en nuestras asignaturas gráficas, Dibujo Arquitectónico y su hermana Laboratorio de Informática Gráfica.

Geometría de presas bóveda

Se presenta en este artículo un programa para cálculo mediante ordenador, de utilización frecuente en el Departamento de Estudios Experimentales de Presas del Labo¬ratorio Central. Este programa se refiere a presas bóvedas asimétricas de tres centros y determina: a) el replanteo geométrico de las mismas para su construcción en modelo reducido. b) la posición -punto de aplicación y dirección- de las cargas puntuales equivalentes a las acciones de peso propio y presión hidrostática, que se introducen en el modelo median¬te gatos hidráulicos. c) la directriz de la presa, dato necesario para un posible cálculo estático posterior. This paper presents a computer program currently used in the Department of Experimental Studies of Dams in the Laboratorio Central. This program concerns asymmetric arch dams of three centers and it determines: a) The geometrical definition of the arch dams for the scaled model construction. b) The position, acting point and direction of the punctual loads equivalent to the actions of self-weight and water pressure, which are applied to the model by means of hydraulic jacks. c) The middle surface of the dam, which later would be introduced for a stress analy¬sis of the dam itself

La geometría fractal en los sistemas agroambientales

La formación matemática que se imparte en los diferentes títulos de la ETSI Agrónomos presenta características comunes a otras ingenierías pero también algunos rasgos específicos. Como en otras ingenierías, esta formación está vinculada en parte a la utilización de modelos físicos altamente matematizados. Además, el ingeniero agrónomo debe dar respuesta a desafíos que ponen en juego otras disciplinas, como las ciencias biológicas o las ciencias de la naturaleza. Estas ciencias muchas veces requieren de nuevas teorías matemáticas para alcanzar sus objetivos, lo que representa nuevos retos para las matemáticas tanto en el campo de la docencia como en el de la investigación. A modo de ejemplo, vamos a centrarnos aquí en el uso de una teoría matemática con importantes aplicaciones a los sistemas agroambientales. Esta teoría matemática es la geometría fractal, nacida a principios del siglo pasado.

Laboratorio de Bienestar Porcino: Primeros Resultados y Primeras Conclusiones

La puesta en marcha del Laboratorio de Bienestar Porcino comenzó con una iniciativa de un grupo de investigadores de la E.T.S.I. Agrónomos de Madrid (UPM) que, con el apoyo y financiación de la empresa Tragsa, desarrolló un modelo de alojamiento para cebo de cerdos que incluía un sistema patentado de separación in situ de heces y orina.

De cuartel militar a laboratorio de vida alternativa: el ecobarrio de Vauban en Friburgo

La experiencia de la ciudad de Friburgo destaca, además de porque lleva décadas gobernada por Los Verdes, y por una gran socialización de las energías renovables, por acoger una experiencia muy innovadora de regeneración urbana: el proceso del ecobarrio Vauban. En 1993 un grupo de jóvenes okupó unos antiguos cuarteles de la OTAN. Tras un proceso de negociación con el Ayuntamiento, obtuvieron permiso para permanecer en algunas de las naves. De esa iniciativa nació SUSI, una cooperativa autogestionada de vivienda para jóvenes y personas con bajos ingresos, así como espacios para iniciativas sociales. El proyecto de la Administración local era demoler el resto para reedificar un nuevo barrio. Distintos activistas del ecologismo y del movimiento antinuclear plantearon y lograron poner en marcha una alternativa al proyecto oficial a través de una asociación ciudadana, Forum Vauban, que ha logrado participar en el proceso de renovación del resto del barrio y dinamizar un intenso proceso de participación ciudadana orientado a convertir el futuro barrio en un asentamiento lo más ecológico posible.

Determinación del coeficiente de rozamiento grano-pared en silos de pared corrugada mediante el método de los elementos discretos

El comportamiento de los materiales granulares almacenados en silos se ve afectado por varios parámetros, tanto aquellos característicos del material como de la geometría del silo. La determinación del coeficiente de rozamiento pared-partícula es uno de los parámetros de mayor importancia, siendo habituales en su determinación el uso de ensayos de corte directo. En el presente trabajo se estudia dicho coeficiente para el supuesto de una pared corrugada, el cual, teóricamente, debe representar a un valor efectivo que depende tanto del coeficiente de rozamiento grano-pared (para el caso de una pared lisa) y el ángulo de rozamiento interno del material. La determinación del rozamiento efectivo se ha realizado a través de la simulación por elementos discretos de un ensayo de corte sobre una pared corrugada. Los valores obtenidos han sido comparados con las prescripciones expuestas en la normativa vigente. La potencialidad del método de los elementos discretos permite el estudio de diversas configuraciones geométricas de la pared corrugada de los silos sin necesidad de realizar ensayos de laboratorio. Esto permitirá, en trabajos sucesivos, investigar la influencia de muy diversos factores en el valor del rozamiento efectivo grano-pared en este tipo de paredes. The mechanical behaviour of granular materials stored in silos is affected by numerous parameters, some of them being related to the characteristic of the stored materials and others to the geometry of the silo. The determination of the particle-wall friction coefficient (or wall friction) is of great importance and direct shear tests are usually conducted in order to obtain its value. In this work this variable is analysed for the case of a corrugated wall. This value is expected to be an effective value between the particle-wall friction coefficient (obtained for a flat wall) and the internal friction coefficient of the material under study. The effective wall friction determination has been carried out by using a discrete element model to simulate a direct shear test on a corrugated wall. The values obtained have been compared with prescriptions given in the current standards. The potential of the discrete element method allows different geometries of the silo corrugated wall to be considered without the necessity of developing laboratory tests. In future works it will allow the influence of numerous parameters on the effective wall friction in corrugated walls to be studied.

solaR: geometría, radiación y energía solar en R

The solaR package includes a set of functions to calculate the solar radiation incident on a photovoltaic generator and simulate the performance of several applications of the photovoltaic energy. This package performs the whole calculation procedure from both daily and intradaily global horizontal irradiation to the final productivity of grid connected PV systems and water pumping PV systems. The package stands on a set of S4 classes. The core of each class is a group of slots with yearly, monthly, daily and intradaily multivariate time series (with the zoo package ). The classes share a variety of methods to access the information (for example, as.zooD provides a zoo object with the daily multivariate time series of the corresponding object) and several visualisation methods based on the lattice andlatticeExtra packages.

Imparticion de Practicas de Laboratorio en Escuelas Tecnicas con Alto Numero de Alumnos

El presente trabajo propone cómo abordar un problema creciente en las escuelas técnicas como es la masificación de los cursos. Para ello describe una serie de parámetros de influencia representativos y aspectos operativos aplicables a la impartición de prácticas de laboratorio en asignaturas que contienen una base predominantemente tecnológica. Se pretende que los conceptos e ideas aportadas puedan servir como base para la implantación de nuevas prácticas o bien para la adaptación de prácticas ya existentes, intentado, en la medida de lo posible, una formulación conceptual que resulte aplicable a todas aquellas asignaturas o disciplinas en las que la aplicación práctica de los conceptos estudiados suponga una parte esencial de las enseñanzas y que tengan un alto número de alumnos. La utilización de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) debe verse como una importante fuente de recursos de apoyo a la actividad docente de prácticas, ya que favorece el acceso individual de forma simultánea, pero en ningún caso debe suponer la sustitución de la actividad presencial del alumno en laboratorio, que es esencial para la consecución de los objetivos formativos

Diseño e Implementación de un Laboratorio Virtual de Biotecnología.

Este trabajo describe el diseño y la implementación de un laboratorio virtual de biotecnología, en el que uno o más estudiantes pueden realizar una práctica de ingeniería genética. Esta práctica consiste en modificar genéticamente un árbol (chopo) para dotarlo de una mayor resistencia a enfermedades, especialmente las producidas por hongos. Como parte de este trabajo, se ha realizado un análisis sobre plataformas existentes para la creación de entornos virtuales, tales como Second Life, Bitmanagement Software Collaborate System, OpenSimulator, Open Wonderland; además se han presentado otros trabajos similares a éste existentes en la literatura científica. En este análisis, la plataforma OpenSimulator fue seleccionada por ser gratuita y de código libre, además, al estar basada en Second Life, hereda su facilidad para la creación de mundos virtuales. Una práctica de laboratorio se modela como un protocolo o secuencia de acciones que se deben llevar a cabo. Para validar las acciones del estudiante se ha implementado un objeto, llamado tutor, que verifica la correcta realización de la práctica, y proporciona pistas sobre la siguiente acción a ejecutar. Este objeto posee una programación genérica, que se puede reutilizar en el desarrollo de otras prácticas de laboratorio a través de sencillas modificaciones en su configuración. Finalmente, en este trabajo se presentan los modelos y especificaciones para la construcción del laboratorio virtual.

Laboratorio en el espacio - Laboratorio en la tierra

Este trabajo presenta ciertos resultados recientes que están relacionados con el equilibrio dinámico de puentes líquidos mantenidos entre discos solidos paralelos y coaxiales. Estos estudios tienen por objeto analizar los experimentos realizados a bordo del spacelab en diciembre de 1983. Se ha desarrollado un programa muy activo en tierra para simular, tanto numérica como experimentalmente, los efectos de la gravedad reducida en configuraciones capilares. La simulación con la técnica de plateau permite obtener en muchos casos resultados extremadamente precisos, siempre que se ponga un gran cuidado en gobernar la densidad del liquido soporte. Aunque las aplicaciones comerciales de estas investigaciones están lejos, su contenido científico justifica trabajar mas todavía. En el caso particular que consideramos, el puente liquido es la configuración mas sencilla, voluminosa y gobernable limitada por una superficie libre no plana, y esto es en sí mismo científicamente interesante. La competencia comercial con desarrollos paralelos en tierra será desfavorable para los procesos espaciales mientras no aumenten las oportunidades de vuelo.

Geometría y Arquitectura en las iglesias cortesanas de Madrid en el siglo XVIII

Con la llegada al trono español de Felipe V, una pléyade de arquitectos y artistas italianos y franceses fueron llamados a Madrid por la nueva dinastía borbónica para cambiar el gusto artístico de un país de cultura y costumbres ajenas. De las obras que estos arquitectos dejaron en España, nos hemos centrado en la arquitectura religiosa por ser más evidente esta influencia. Hemos analizado dos iglesias madrileñas: la de San Ignacio y la Basílica Pontificia de San Miguel (antes iglesia de los santos Justo y Pastor).

Bóvedas y contrarresto del Colegio de Nuestra Señora de la Antigua de Monforte de Lemos : geometría, construcción y mecánica

El Colegio de Nuestra Señora de la Antigua de Monforte de Lemos (1593-1619) constituye el principal ejemplo del clasicismo herreriano de Galicia. Esta tesis analiza los aspectos técnicos de la construcción de sus bóvedas de cantería, en el marco disciplinar de la Historia de la Construcción. El Colegio contiene varios tipos de bóvedas entre las que destacan su cúpula trasdosada y su escalera monumental. Además, se conservan los documentos notariales históricos que describen las obras y una de las monteas más importantes de Galicia. Las bóvedas han sufrido movimientos y algunas presentan importantes deformaciones, que han suscitado preocupación sobre su estabilidad. El estudio se organiza en tres epígrafes: geometría, construcción y mecánica, tres aspectos estrechamente interrelacionados en este tipo de estructuras. La parte de estudio geométrico parte de un levantamiento en el que se emplea una estación total sin reflectante, una técnica que permite una medición muy precisa de la forma real de las bóvedas. Como complemento se ha recurrido a técnicas de escáner fotográfico. Con los datos de las mediciones se han elaborado los dibujos de las bóvedas, y analizado sus medidas e irregularidades. Se ha incluido un análisis metrológico por métodos inductivos, que ha puesto de manifiesto la unidad utilizada en la construcción. El estudio se completa con la recopilación de las reglas de dimensionamiento que figuran en los tratados, que se comparan con las dimensiones de las bóvedas analizadas. En el estudio constructivo se registran los despieces y la configuración constructiva y se contrastan, por un lado, con las soluciones que aparecen en los principales tratados de los siglos XVI, XVII y XVIII, y por otro, con las descripciones que se encuentran en los documentos históricos del Colegio. Se ha prestado especial atención al estudio de estos documentos, que han permitido conocer algunos aspectos originales del proceso de construcción de estas bóvedas. En una de las paredes del claustro se ha identificado una montea inédita cuyo levantamiento y análisis se incorpora en esta parte. En el estudio mecánico se analiza la estabilidad dentro del marco teórico del Moderno Análisis Límite de Estructuras de Fábricas. La comprensión del comportamiento estructural, unida a la precisión de los levantamientos, ha permitido explicar los movimientos de las fábricas e inferir la geometría original de algunas de las bóvedas, no siempre evidente en los casos de fuertes deformaciones. Los estudios realizados hasta ahora en bóvedas de los siglos XVI y XVII permiten vislumbrar un panorama de soluciones constructivas más rico que el que recogen los tratados históricos. Las nuevas técnicas de medición sin contacto abren nuevas posibilidades para analizar estas estructuras. Los casos estudiados todavía son escasos y se necesita un conjunto más amplio para poder realizar un análisis general. Esta tesis aporta el estudio de uno de esos casos con el fin de contribuir al mejor conocimiento de la construcción en España en los siglos XVI y XVII. ABSTRACT The Colegio de Nuestra Señora de la Antigua (1593-1619), in Monforte de Lemos, Spain, is the best example in Galicia of the classicism influenced by the Monastery of El Escorial and his architect, Juan de Herrera. This thesis analyzes the technical aspects of the construction of its masonry vaults within the discipline of Construction History. The Colegio exhibits various types of vaults, among which the extradosed ashlar dome and the grand staircase are particularly worth mentioning. In addition, the legal documents containing thorough specifications of the work, as well as one of the construction drawings at actual size —one of the best examples in Galicia—, have both been preserved to this date. Some of the vaults have undergone important deformations that have raised concerns about their stability. The study is organized in three sections: geometry, construction, and mechanics, the three clearly interrelated in this type of structures. The geometrical study starts out with a metric survey using a reflectorless total station, a technique that allows a very precise measurement of the actual shape of the vault. This technique was complemented with the use of a photo-based 3D scanner. The resulting measurements were used to draw the vaults, and analyze their dimensions and irregularities. An inductive metrological analysis, which was able to reveal the exact metric unit utilized during the construction, is included in this section. The section is completed with the gathering of the dimensional rules appearing in the various historical treatises, which are compared with the dimensions of the actual vaults. The construction study deals with the quartering of the structure, whose results are compared, on the one hand, with the approaches appearing in the main treatises of the 16th- 18th centuries, and on the other, with the descriptions in the historical documents of the Colegio itself. Special attention has been paid to the study of these documents, which have revealed some original aspects in the construction process of the vaults. In one of the cloister’s walls, a hitherto unheard-of construction drawing at actual size was found. Its survey and analysis is included in this section. The mechanical study analyzes the Colegio's vaults stability within the theoretical frame of the Modern Limit Analysis of Masonry Structures. The interpretation of the structural behavior, coupled with the precision of the surveys, has allowed a deep understanding of the masonry’s movements and the original geometry of some of the vaults —not always evident in the case of strong deformations— has been inferred. The studies dealing with XVI and XVII century vaults conducted up to this date show a landscape of constructive solutions far richer than the one suggested in the historical treatises. The new contactless measuring techniques offer exciting possibilities for the analysis of these structures. The cases studied are still few and more would be needed before a general analysis can be attempted. This thesis constitutes one such additional case and its goal is to improve our understanding of Spanish construction in the 16th-17th centuries.

Código híbrido avanzado de motores de plasma de efecto Hall

La propulsión eléctrica constituye hoy una tecnología muy competitiva y de gran proyección de futuro. Dentro de los diversos motores de plasma existentes, el motor de efecto Hall ha adquirido una gran madurez y constituye un medio de propulsión idóneo para un rango amplio de misiones. En la presente Tesis se estudian los motores Hall con geometría convencional y paredes dieléctricas. La compleja interacción entre los múltiples fenómenos físicos presentes hace que sea difícil la simulación del plasma en estos motores. Los modelos híbridos son los que representan un mejor compromiso entre precisión y tiempo de cálculo. Se basan en utilizar un modelo fluido para los electrones y algoritmos de dinámica de partículas PIC (Particle-In- Cell) para los iones y los neutros. Permiten hacer uso de la hipótesis de cuasineutralidad del plasma, a cambio de resolver separadamente las capas límite (o vainas) que se forman en torno a las paredes de la cámara. Partiendo de un código híbrido existente, llamado HPHall-2, el objetivo de la Tesis doctoral ha sido el desarrollo de un código híbrido avanzado que mejorara la simulación de la descarga de plasma en un motor de efecto Hall. Las actualizaciones y mejoras realizadas en las diferentes partes que componen el código comprenden tanto aspectos teóricos como numéricos. Fruto de la extensa revisión de la algoritmia del código HPHall-2 se han conseguido reducir los errores de precisión un orden de magnitud, y se ha incrementado notablemente su consistencia y robustez, permitiendo la simulación del motor en un amplio rango de condiciones. Algunos aspectos relevantes a destacar en el subcódigo de partículas son: la implementación de un nuevo algoritmo de pesado que permite determinar de forma más precisa el flujo de las magnitudes del plasma; la implementación de un nuevo algoritmo de control de población, que permite tener suficiente número de partículas cerca de las paredes de la cámara, donde los gradientes son mayores y las condiciones de cálculo son más críticas; las mejoras en los balances de masa y energía; y un mejor cálculo del campo eléctrico en una malla no uniforme. Merece especial atención el cumplimiento de la condición de Bohm en el borde de vaina, que en los códigos híbridos representa una condición de contorno necesaria para obtener una solución consistente con el modelo de interacción plasma-pared, y que en HPHall-2 aún no se había resuelto satisfactoriamente. En esta Tesis se ha implementado el criterio cinético de Bohm para una población de iones con diferentes cargas eléctricas y una gran dispersión de velocidades. En el código, el cumplimiento de la condición cinética de Bohm se consigue por medio de un algoritmo que introduce una fina capa de aceleración nocolisional adyacente a la vaina y mide adecuadamente el flujo de partículas en el espacio y en el tiempo. Las mejoras realizadas en el subcódigo de electrones incrementan la capacidad de simulación del código, especialmente en la región aguas abajo del motor, donde se simula la neutralización del chorro del plasma por medio de un modelo de cátodo volumétrico. Sin abordar el estudio detallado de la turbulencia del plasma, se implementan modelos sencillos de ajuste de la difusión anómala de Bohm, que permiten reproducir los valores experimentales del potencial y la temperatura del plasma, así como la corriente de descarga del motor. En cuanto a los aspectos teóricos, se hace especial énfasis en la interacción plasma-pared y en la dinámica de los electrones secundarios libres en el interior del plasma, cuestiones que representan hoy en día problemas abiertos en la simulación de los motores Hall. Los nuevos modelos desarrollados buscan una imagen más fiel a la realidad. Así, se implementa el modelo de vaina de termalización parcial, que considera una función de distribución no-Maxwelliana para los electrones primarios y contabiliza unas pérdidas energéticas más cercanas a la realidad. Respecto a los electrones secundarios, se realiza un estudio cinético simplificado para evaluar su grado de confinamiento en el plasma, y mediante un modelo fluido en el límite no-colisional, se determinan las densidades y energías de los electrones secundarios libres, así como su posible efecto en la ionización. El resultado obtenido muestra que los electrones secundarios se pierden en las paredes rápidamente, por lo que su efecto en el plasma es despreciable, no así en las vainas, donde determinan el salto de potencial. Por último, el trabajo teórico y de simulación numérica se complementa con el trabajo experimental realizado en el Pnnceton Plasma Physics Laboratory, en el que se analiza el interesante transitorio inicial que experimenta el motor en el proceso de arranque. Del estudio se extrae que la presencia de gases residuales adheridos a las paredes juegan un papel relevante, y se recomienda, en general, la purga completa del motor antes del modo normal de operación. El resultado final de la investigación muestra que el código híbrido desarrollado representa una buena herramienta de simulación de un motor Hall. Reproduce adecuadamente la física del motor, proporcionando resultados similares a los experimentales, y demuestra ser un buen laboratorio numérico para estudiar el plasma en el interior del motor. Abstract Electric propulsion is today a very competitive technology and has a great projection into the future. Among the various existing plasma thrusters, the Hall effect thruster has acquired a considerable maturity and constitutes an ideal means of propulsion for a wide range of missions. In the present Thesis only Hall thrusters with conventional geometry and dielectric walls are studied. The complex interaction between multiple physical phenomena makes difficult the plasma simulation in these engines. Hybrid models are those representing a better compromise between precision and computational cost. They use a fluid model for electrons and Particle-In-Cell (PIC) algorithms for ions and neutrals. The hypothesis of plasma quasineutrality is invoked, which requires to solve separately the sheaths formed around the chamber walls. On the basis of an existing hybrid code, called HPHall-2, the aim of this doctoral Thesis is to develop an advanced hybrid code that better simulates the plasma discharge in a Hall effect thruster. Updates and improvements of the code include both theoretical and numerical issues. The extensive revision of the algorithms has succeeded in reducing the accuracy errors in one order of magnitude, and the consistency and robustness of the code have been notably increased, allowing the simulation of the thruster in a wide range of conditions. The most relevant achievements related to the particle subcode are: the implementation of a new weighing algorithm that determines more accurately the plasma flux magnitudes; the implementation of a new algorithm to control the particle population, assuring enough number of particles near the chamber walls, where there are strong gradients and the conditions to perform good computations are more critical; improvements in the mass and energy balances; and a new algorithm to compute the electric field in a non-uniform mesh. It deserves special attention the fulfilment of the Bohm condition at the edge of the sheath, which represents a boundary condition necessary to match consistently the hybrid code solution with the plasma-wall interaction, and remained as a question unsatisfactory solved in the HPHall-2 code. In this Thesis, the kinetic Bohm criterion has been implemented for an ion particle population with different electric charges and a large dispersion in their velocities. In the code, the fulfilment of the kinetic Bohm condition is accomplished by an algorithm that introduces a thin non-collisional layer next to the sheaths, producing the ion acceleration, and measures properly the flux of particles in time and space. The improvements made in the electron subcode increase the code simulation capabilities, specially in the region downstream of the thruster, where the neutralization of the plasma jet is simulated using a volumetric cathode model. Without addressing the detailed study of the plasma turbulence, simple models for a parametric adjustment of the anomalous Bohm difussion are implemented in the code. They allow to reproduce the experimental values of the plasma potential and the electron temperature, as well as the discharge current of the thruster. Regarding the theoretical issues, special emphasis has been made in the plasma-wall interaction of the thruster and in the dynamics of free secondary electrons within the plasma, questions that still remain unsolved in the simulation of Hall thrusters. The new developed models look for results closer to reality, such as the partial thermalization sheath model, that assumes a non-Maxwellian distribution functions for primary electrons, and better computes the energy losses at the walls. The evaluation of secondary electrons confinement within the chamber is addressed by a simplified kinetic study; and using a collisionless fluid model, the densities and energies of free secondary electrons are computed, as well as their effect on the plasma ionization. Simulations show that secondary electrons are quickly lost at walls, with a negligible effect in the bulk of the plasma, but they determine the potential fall at sheaths. Finally, numerical simulation and theoretical work is complemented by the experimental work carried out at the Princeton Plasma Physics Laboratory, devoted to analyze the interesting transitional regime experienced by the thruster in the startup process. It is concluded that the gas impurities adhered to the thruster walls play a relevant role in the transitional regime and, as a general recomendation, a complete purge of the thruster before starting its normal mode of operation it is suggested. The final result of the research conducted in this Thesis shows that the developed code represents a good tool for the simulation of Hall thrusters. The code reproduces properly the physics of the thruster, with results similar to the experimental ones, and represents a good numerical laboratory to study the plasma inside the thruster.

Problemas de geometría

Este libro, Problemas de Geometría, junto con otros dos, Problemas de Matemáticas y Problemas de Geometría Analítica y Diferencial, están dedicados a la presentación y resolución de problemas que se planteaban hace unas décadas, en la preparación para ingreso en las carreras de ingeniería técnica superior. Incluye 744 problemas que se presentan en dos grandes grupos: • Geometría del plano, con 523 problemas referentes a lugares geométricos, rectas, ángulos, triángulos y su construcción, cuadriláteros y otros polígonos, circunferencia, cónicas y áreas. • Geometría del espacio, con 221 problemas referentes a lugares geométricos, planos, diedros, cuerpos, áreas, volúmenes y geometría descriptiva. Además se incluyen en el anexo, 25 problemas para su resolución por los lectores. Esta segunda edición de Problemas de Geometría tiene por objeto su puesta a disposición de la Escuela de Ingenieros de Minas de la Universidad Politécnica de Madrid.

Problemas de geometría analítica y diferencial

Este libro, Problemas de Geometría Analítica y Diferencial, junto con otros dos, Problemas de Matemáticas y Problemas de Geometría, están dedicados a la presentación y resolución de problemas que se planteaban hace unas décadas, en la preparación para ingreso en las carreras de ingeniería técnica superior. Incluye 907 problemas, de los que 707 se refieren a la geometría analítica y 200 a la geometría diferencial. Los correspondientes a la geometría analítica se reparten entre la geometría del plano, con 491 problemas (elementos, circunferencia, lugares geométricos, cónicas, curvas), y la del espacio, con 216 problemas (elementos, lugares geométricos, cuádricas, otras superficies y curvas). Los referentes a la geometría diferencial se reparten entre los correspondientes al plano, con 123 problemas, y los correspondientes al espacio, con 77 problemas. Esta segunda edición de Problemas de Geometría Analítica y Diferencial tiene por objeto su puesta a disposición de la Escuela de Ingenieros de Minas de la Universidad Politécnica de Madrid.