Optimal Control and Lyapunov exponents

Il presente lavoro è suddiviso in due parti. Nella prima sono presentate la teoria degli esponenti di Lyapunov e la teoria del Controllo Ottimo da un punto di vista geometrico. Sono riportati i risultati principali di queste due teorie e vengono abbozzate le dimostrazioni dei teoremi più importanti. Nella seconda parte, usando queste due teorie, abbiamo provato a trovare una stima per gli esponenti di Lyapunov estremali associati ai sistemi dinamici lineari switched sul gruppo di Lie SL2(R). Abbiamo preso in considerazione solo il caso di un sistema generato da due matrici A,B ∈ sl2(R) che generano l’intera algebra di Lie. Abbiamo suddiviso il problema in alcuni possibili casi a seconda della posizione nello spazio tridimensionale sl2(R) del segmento di estremi A e B rispetto al cono delle matrici nilpotenti. Per ognuno di questi casi, abbiamo trovato una candidata soluzione ottimale. Riformuleremo il problema originale di trovare una stima per gli esponenti di Lyapunov in un problema di Controllo Ottimo. Dopodiché, applichiamo il Principio del massimo di Pontryagin e troveremo un controllo e la corrispondente traiettoria che soddisfa tale Principio.