Incompressible limit and well-posedness of PDE models of tissue growth

Both compressible and incompressible porous medium models are used in the literature to describe the mechanical aspects of living tissues. Using a stiff pressure law, it is possible to build a link between these two different representations. In the incompressible limit, compressible models generate free boundary problems where saturation holds in the moving domain. Our work aims at investigating the stiff pressure limit of reaction-advection-porous medium equations motivated by tumor development. Our first study concerns the analysis and numerical simulation of a model including the effect of nutrients. A coupled system of equations describes the cell density and the nutrient concentration and the derivation of the pressure equation in the stiff limit was an open problem for which the strong compactness of the pressure gradient is needed. To establish it, we use two new ideas: an L3-version of the celebrated Aronson-Bénilan estimate, and a sharp uniform L4-bound on the pressure gradient. We further investigate the sharpness of this bound through a finite difference upwind scheme, which we prove to be stable and asymptotic preserving. Our second study is centered around porous medium equations including convective effects. We are able to extend the techniques developed for the nutrient case, hence finding the complementarity relation on the limit pressure. Moreover, we provide an estimate of the convergence rate at the incompressible limit. Finally, we study a multi-species system. In particular, we account for phenotypic heterogeneity, including a structured variable into the problem. In this case, a cross-(degenerate)-diffusion system describes the evolution of the phenotypic distributions. Adapting methods recently developed in the context of two-species systems, we prove existence of weak solutions and we pass to the incompressible limit. Furthermore, we prove new regularity results on the total pressure, which is related to the total density by a power law of state.

Tra i modelli matematici per la crescita dei tessuti, ed in particolare per la crescita tumorale, sia modelli cosiddetti comprimibili sia modelli incomprimibili sono largamente utilizzati in letteratura. Passando al limite incomprimibile, i modelli comprimibili generano modelli a frontiera libera in cui si ha saturazione nel dominio. L’obiettivo della tesi è quello di analizzare il limite stiff pressure di equazioni del tipo reazione-convezione-diffusione degenere. Il primo lavoro riguarda l’analisi e la simulazione numerica di un modello che include la presenza di nutrienti. Un sistema di equazioni descrive l’evoluzione della densità cellulare e della concentrazione di nutrienti. In questo caso, la derivazione dell’equazione della pressione nel limite rappresentava un problema irrisolto, per il quale era necessario trovare la compattezza forte del gradiente della pressione. Al fine di dimostrarla, sono state utilizzate due tecniche: una versione L3 della celebre stima di Aronson e Bénilan, e una stima L4 ottimale sul gradiente della pressione. Inoltre, si è investigato numericamente l’ottimalità di questa stima utilizzando uno schema upwind alle differenze finite, che si dimostra essere stabile e asymptotic preserving. Il secondo lavoro si concentra sulle equazioni dei mezzi porosi che includono un termine di convezione. Sono state quindi estese le tecniche sviluppate nel modello con nutrienti e ricavata la relazione di complementarietà della pressione limite. Inoltre, viene fornita una stima della velocità di convergenza del limite incomprimibile. Infine, si analizza un modello multi-specie. In particolare, è stata presa in considerazione l’eterogeneità fenotipica, includendo una variabile strutturata nel modello. In questo caso, un sistema del tipo diffusione (degenere) incrociata descrive l’evoluzione delle distribuzioni fenotipiche. Adattando metodi recentemente sviluppati nel contesto di sistemi di due specie, si prova l’esistenza di soluzioni deboli e si passa al limite stiff. Inoltre, vengono forniti nuovi risultati di regolarità sulla pressione totale.