Órbitas ordenadas del mapeo shift, raíz cuadrada y la escalera del diablo

Nuestro principal objetivo en este trabajo será seguir el artículo en el que consideran una órbita del “mapeo doblamiento”, shift: σ t → 2t en R=Z (este es el mapeo cuadrático cuando pensamos a R=Z como el círculo unitario en el plano complejo). Llamaremos a un subconjunto cerrado A de R=Z ordenado bajo σ si A es invariante (esto es σ (A) = A) y si σ preserva el orden cíclico de los puntos de A. Tales conjuntos tienen asignado un número de rotación, que lo llamamos así porque se parece mucho al que definimos en homeomorfismos del círculo, otra manera de ver el número de rotación es tomar la expansión decimal de cualquier t en A y luego calcular la frecuencia con la cual el dígito ’1’ se produce en esta expansión binaria. En este trabajo nos preocuparemos por dar una clasificación completa de los subconjuntos A que cumplen con ser ordenados, explícitamente daremos un algoritmo para su construcción, algunas propiedades de teoría de números, una generalización de la noción de orden y una caracterización del orden de todos los puntos alrededor de R=Z