Multiphase modeling of melting / solidification with high density variations using XFEM

La modélisation de la cryolite, utilisée dans la fabrication de l’aluminium, implique plusieurs défis, notament la présence de discontinuités dans la solution et l’inclusion de la difference de densité entre les phases solide et liquide. Pour surmonter ces défis, plusieurs éléments novateurs ont été développés dans cette thèse. En premier lieu, le problème du changement de phase, communément appelé problème de Stefan, a été résolu en deux dimensions en utilisant la méthode des éléments finis étendue. Une formulation utilisant un multiplicateur de Lagrange stable spécialement développée et une interpolation enrichie a été utilisée pour imposer la température de fusion à l’interface. La vitesse de l’interface est déterminée par le saut dans le flux de chaleur à travers l’interface et a été calculée en utilisant la solution du multiplicateur de Lagrange. En second lieu, les effets convectifs ont été inclus par la résolution des équations de Stokes dans la phase liquide en utilisant la méthode des éléments finis étendue aussi. Troisièmement, le changement de densité entre les phases solide et liquide, généralement négligé dans la littérature, a été pris en compte par l’ajout d’une condition aux limites de vitesse non nulle à l’interface solide-liquide pour respecter la conservation de la masse dans le système. Des problèmes analytiques et numériques ont été résolus pour valider les divers composants du modèle et le système d’équations couplés. Les solutions aux problèmes numériques ont été comparées aux solutions obtenues avec l’algorithme de déplacement de maillage de Comsol. Ces comparaisons démontrent que le modèle par éléments finis étendue reproduit correctement le problème de changement phase avec densités variables.

The modelling of the cryolite bath, used in the smelting of aluminum, offers multiple challenges, particularly the presence of discontinuities in the solution and a difference in density between the solid and liquid phases. To over come these challenges, several novel elements were developed in this thesis. First of all, the phase change problem, commonly named the Stefan problem, was solved in two dimensions using the extended finite element method. A specially designed Lagrange multiplier formulation, using an enriched Lagrange multiplier solution, was implemented to impose the melting temperature on the interface. The interface velocity is determined by the jump in the heat flux across the interface and was calculated using the Lagrange multiplier values. Secondly, convection was included by solving the Stokes equations in the liquid phase using the extended finite element method as well. Thirdly, the density change between solid and liquid phases, usually neglected in the literature, was taken into account by the addition of a non-zero velocity boundary condition at the solid-liquid interface to maintain mass conservation in the system. Benchmark analytical and numerical problems were solved to validated the various components of the model and the coupled system of equations. The solutions to the numerical problems were compared to the solutions obtained using Comsol’s moving mesh algorithm. Theses comparisons show that the extended finite element method correctly solves the phase change problem with non-constant densities.