Nonlinear preservers

Dans cette thèse, nous sommes intéressés par des problèmes de préservation des applications non-linéaires entre deux algèbres de Banach complexes unitaires A et B. En général, ces problèmes demandent la caractérisation des applications φ : A → B non nécessairement linéaires, qui laissent invariant une propriété, une relation ou un sous-ensemble. Dans le Chapitre 3, la description des applications surjectives φ de B(X) sur B(Y), qui satisfont c(φ(S)±φ(T)) = c(S ± T), (S,T ∈ B(X)), est donnée, où c(·) représente soit le module minimal, ou le module de surjectivité ou le module maximal et B(X) (resp. B(Y)) dénote l’algèbre de tous les opérateurs linéaires et bornés sur X (resp. sur Y). Dans le Chapitre 4, une question similaire pour la conorme des opérateurs, est considérée. La caractérisation des applications bicontinues et bijectives φ deB(X) surB(Y), qui satisfont γ(φ(S ± φ(T)) = γ(S ± T), (S,T ∈ B(X)), est obtenue. Le Chapitre 5 est consacré à la description des applications surjectives φ1,φ2 d’une algèbre de Banach semisimple A sur une algèbre de Banach B avec un socle essentiel, qui satisfont σ(φ1(a)φ2(b)) = σ(ab), (a,b ∈ A). Aussi, la caractérisation des applications φ de A sur B, sous les mêmes hypothèses sur A et B, qui satisfont σ(φ(a)φ(b)φ(a)) = σ(aba), (a,b ∈ A), est donnée. Comme conséquences, nous incluons les résultats obtenus au cas des algèbres B(X) et B(Y).

In this thesis, we are interested in nonlinear preserver problems. In a general formulation, these demand the characterization of a map φ : A → B, which is not supposed to be linear and leaves a certain property, particular relation, or even a subset invariant, where A and B are complex Banach algebras with unit. In Chapter 3, the description of maps φ from B(X) onto B(Y) satisfying c(φ(S)±φ(T)) = c(S ± T), (S,T ∈ B(X)), is given, where c(·) stands either for the minimum modulus, or the surjectivity modulus, or the maximum modulus and B(X) (resp. B(Y)) denotes the algebra of all bounded linear operators on a Banach space X (resp. on Y). In Chapter 4, a similar question for the reduced minimum modulus of operators, is considered. The characterization of bijective bicontinuous maps φ from B(X) to B(Y) satisfying γ(φ(S ± φ(T)) = γ(S ± T), (S,T ∈ B(X)), is obtained. Chapter 5 is devoted to description of maps φ1,φ2 from a semisimple Banach algebra A onto a Banach algebra B with an essential socle, that satisfy σ(φ1(a)φ2(b)) = σ(ab), (a,b ∈ A). Also, the characterization of maps φ from A onto B, under the same assumptions on A and B, satisfying σ(φ(a)φ(b)φ(a)) = σ(aba), (a,b ∈ A), is given. The corollaries for algebras B(X) and B(Y), that follow immediately from the results, are included.