Estudo da transição de fase da percolação através da entropia da informação

Various physical systems have dynamics that can be modeled by percolation processes. Percolation is used to study issues ranging from fluid diffusion through disordered media to fragmentation of a computer network caused by hacker attacks. A common feature of all of these systems is the presence of two non-coexistent regimes associated to certain properties of the system. For example: the disordered media can allow or not allow the flow of the fluid depending on its porosity. The change from one regime to another characterizes the percolation phase transition. The standard way of analyzing this transition uses the order parameter, a variable related to some characteristic of the system that exhibits zero value in one of the regimes and a nonzero value in the other. The proposal introduced in this thesis is that this phase transition can be investigated without the explicit use of the order parameter, but rather through the Shannon entropy. This entropy is a measure of the uncertainty degree in the information content of a probability distribution. The proposal is evaluated in the context of cluster formation in random graphs, and we apply the method to both classical percolation (Erd¨os- R´enyi) and explosive percolation. It is based in the computation of the entropy contained in the cluster size probability distribution and the results show that the transition critical point relates to the derivatives of the entropy. Furthermore, the difference between the smooth and abrupt aspects of the classical and explosive percolation transitions, respectively, is reinforced by the observation that the entropy has a maximum value in the classical transition critical point, while that correspondence does not occurs during the explosive percolation.

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Muitos sistemas físicos têm uma dinâmica que pode ser modelada através de processos de percolação. A percolação é utilizada para estudar desde a difusão de um fluido em um meio desordenado até a fragmentação de um rede de computadores causada por um ataque de hackers. Uma característica comum a todos esses sistemas nos quais a percolação pode se aplicar é a presença de dois regimes não-coexistentes associados a certas propriedades do sistema. Por exemplo: o meio desordenado pode permitir ou não a passagem do fluido de acordo com sua porosidade. A mudança de um regime para o outro caracteriza a transição de fase percolativa. A forma padrão de se analisar essa transição é através do chamado parâmetro de ordem, uma variável relacionada a alguma característica do sistema que apresenta valor zero em um dos regimes e valor diferente de zero no outro. A proposta apresentada na presente tese é que essa transição de fase pode ser avaliada sem o uso direto do parâmetro de ordem, sendo possível caracterizá-la através do uso da entropia de Shannon. Essa entropia é uma medida do grau de incerteza na informação codificada através de uma distribuição de probabilidades. A proposta é estudada no contexto da formação de aglomerados em grafos aleatórios, sendo aplicada tanto para a percolação clássica quanto para a percolação explosiva. Ela se baseia no cálculo da entropia da distribuição de probabilidades dos tamanhos dos aglomerados e os resultados obtidos mostram que o ponto crítico da transição está relacionado às derivadas da função entropia. Além disso, a diferença entre as naturezas suave e abrupta das transições clássica e explosiva, respectivamente, é reforçada ao se observar que a entropia tem valor máximo no ponto crítico da transição clássica, enquanto que essa correspondência não ocorre durante a transição explosiva.