O paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com memória exponencial

The random walk models with temporal correlation (i.e. memory) are of interest in the study of anomalous diffusion phenomena. The random walk and its generalizations are of prominent place in the characterization of various physical, chemical and biological phenomena. The temporal correlation is an essential feature in anomalous diffusion models. These temporal long-range correlation models can be called non-Markovian models, otherwise, the short-range time correlation counterparts are Markovian ones. Within this context, we reviewed the existing models with temporal correlation, i.e. entire memory, the elephant walk model, or partial memory, alzheimer walk model and walk model with a gaussian memory with profile. It is noticed that these models shows superdiffusion with a Hurst exponent H > 1/2. We study in this work a superdiffusive random walk model with exponentially decaying memory. This seems to be a self-contradictory statement, since it is well known that random walks with exponentially decaying temporal correlations can be approximated arbitrarily well by Markov processes and that central limit theorems prohibit superdiffusion for Markovian walks with finite variance of step sizes. The solution to the apparent paradox is that the model is genuinely non-Markovian, due to a time-dependent decay constant associated with the exponential behavior. In the end, we discuss ideas for future investigations.

Os modelos de caminhada aleatória com correlação temporal (ou seja, memória) têm despertado o interesse para o estudo sobre difusão anômala. A caminhada aleatória e suas generalizações vêm ocupando um lugar de destaque na caracterização de fenômenos físicos, químicos e biológicos. A correlação temporal é um fator necessário neste modelos para provocar difusão anômala. Os modelos que apresentam correlações temporais de longo-alcance são denominados genuinamente de não-Markovianos, caso contrário, de curto-alcance, Markovianos. Dentro deste contexto, fizemos uma revisão dos modelos já existentes que apresentam correlação temporal, isto é, memória total, modelo de caminhada do elefante, ou memória parcial, modelo de caminhada com alzheimer e o modelo com memória com perfil gaussiano. Percebe-se que esses modelos apresentaram superdifusão, expoente de Hurst (H > 1/2). Estudamos neste trabalho um modelo de caminhada aleatória superdifusivo com memória exponencialmente decrescente. Esse parece ser um resultado contraditório, uma vez que, é bem conhecido que a caminhada aleató- ria com correlações que decaem exponencialmente pode ser aproximada arbitrariamente bem por um processo Markoviano e que o teorema do limite central proíbe superdifusão quando a variância do tamanho dos passos for finita. Nossa proposta para resolver o aparente paradoxo parte do princípio de que o modelo exponencial seja genuinamente não-Markoviano, devido a constante de decaimento da exponencial ser dependente de tempo. Finalmente, discutimos ideias para futuras investigações.