Hadronic correlation functions with quark-disconnected contributions in lattice QCD

One of the fundamental interactions in the Standard Model of particle physicsrnis the strong force, which can be formulated as a non-abelian gauge theoryrncalled Quantum Chromodynamics (QCD). rnIn the low-energy regime, where the QCD coupling becomes strong and quarksrnand gluons are confined to hadrons, a perturbativernexpansion in the coupling constant is not possible.rnHowever, the introduction of a four-dimensional Euclidean space-timernlattice allows for an textit{ab initio} treatment of QCD and provides arnpowerful tool to study the low-energy dynamics of hadrons.rnSome hadronic matrix elements of interest receive contributionsrnfrom diagrams including quark-disconnected loops, i.e. disconnected quarkrnlines from one lattice point back to the same point. The calculation of suchrnquark loops is computationally very demanding, because it requires knowledge ofrnthe all-to-all propagator. In this thesis we use stochastic sources and arnhopping parameter expansion to estimate such propagators.rnWe apply this technique to study two problems which relay crucially on therncalculation of quark-disconnected diagrams, namely the scalar form factor ofrnthe pion and the hadronic vacuum polarization contribution to the anomalousrnmagnet moment of the muon.rnThe scalar form factor of the pion describes the coupling of a charged pion torna scalar particle. We calculate the connected and the disconnected contributionrnto the scalar form factor for three different momentum transfers. The scalarrnradius of the pion is extracted from the momentum dependence of the form factor.rnThe use ofrnseveral different pion masses and lattice spacings allows for an extrapolationrnto the physical point. The chiral extrapolation is done using chiralrnperturbation theory ($chi$PT). We find that our pion mass dependence of thernscalar radius is consistent with $chi$PT at next-to-leading order.rnAdditionally, we are able to extract the low energy constant $ell_4$ from thernextrapolation, and ourrnresult is in agreement with results from other lattice determinations.rnFurthermore, our result for the scalar pion radius at the physical point isrnconsistent with a value that was extracted from $pipi$-scattering data. rnThe hadronic vacuum polarization (HVP) is the leading-order hadronicrncontribution to the anomalous magnetic moment $a_mu$ of the muon. The HVP canrnbe estimated from the correlation of two vector currents in the time-momentumrnrepresentation. We explicitly calculate the corresponding disconnectedrncontribution to the vector correlator. We find that the disconnectedrncontribution is consistent with zero within its statistical errors. This resultrncan be converted into an upper limit for the maximum contribution of therndisconnected diagram to $a_mu$ by using the expected time-dependence of therncorrelator and comparing it to the corresponding connected contribution. Wernfind the disconnected contribution to be smaller than $approx5%$ of thernconnected one. This value can be used as an estimate for a systematic errorrnthat arises from neglecting the disconnected contribution.rn

Die starke Kraft ist eine der fundamentalen Wechselwirkungen imrnStandardmodellrnder Teilchenphysik. Sie kann als nicht-abelsche Eichtheorie -- diernQuantenchromodynamik -- formuliert werden. Im Niederenergiebereich, in dem diernQCD Kopplung groß wird und Quarks und Gluonen in Hadronen gebunden sind, istrnes nicht möglich die QCD in einer Störungsreihe in der Kopplungskonstantenrnzu entwickeln. Die Formulierung der QCD auf einem vierdimensionalen Raum-ZeitrnGitter erlaubt eine theoretische Beschreibung der starken Wechselwirkung undrnermöglicht es, die Dynamik der Hadronen im Niederenergiebereich zu studieren.rnEinige hadronische Matrixelemente enthalten Beiträge von Diagrammen mitrnquark-unverbundenen Schleifen, d.h. Quarklinien von einemrnGitterpunkt zurück zum selben Gitterpunkt. Die Berechnung solcherrnQuarkschleifen ist sehr aufwendig, da man hierfür den Propagator von jedemrnGitterpunkt zu allen Gitterpunkten (all-to-all propagator) benötigt.rnIn der vorliegenden Arbeitrnbenutzen wir stochastische Quellen und eine Hopping Parameter-Entwicklung umrnsolche Propagatoren abzuschätzen. Diese Methode wird verwendet, um zweirnProbleme zu erfoschen, die wesentlich von der Berechnung unverbundenerrnBeiträge abhängen, nämlich der skalare Formfaktor des Pions und derrnBeitrag der hadronische Vakuumpolarisation zum anomalen magnetischen Moment desrnMyons.rnDer skalare Formfaktor des Pions beschreibt die Kopplung eines geladenen Pionsrnan ein skalares Teilchen. Wir berechnen den verbundenen und den unverbundenenrnBeitrag zum skalaren Formfaktor für drei verschiedene Impulsüberträge.rnAus der Impulsabhängigkeit des Formfaktors kann der skalare Radius des Pionsrnbestimmt werden. Da wir verschiedene Pionmassen und Gitterabständernverwenden, können wir unsere Ergebnisse zum physikalischen Punktrnextrapolieren. Für die chirale Extrapolation verwenden wir chiralernStörungstheorie ($chi$PT). Unsere Werte sind konsistent mit $chi$PT zurrntextit{next-to-leading} Ordung. Zusätzlich können wir ausrnder Extrapolation diernNiederenergiekonstante $ell_4$ bestimmen. Unser Ergebnis ist konsistent mitrnResultaten anderer Gitterrechnungen. Das entsprechende Resultat für denrnskalaren Pionradius am physikalischenrnPunkt stimmt mit einem Wert überein, der aus $pipi$-Streuung bestimmt wurde.rnDie hadronische Vakuumpolarisation (HVP) ist der führende hadronischernBeitrag zum anomalen magnetischen Moment $a_mu$ des Myons. Die HVP kann ausrnder Korrelation zweier Vektorströme bestimmt werden. Wir berechnen explizitrnden unverbundenen Anteil des Vektorkorrelators. Wir erhalten einen rnunverbundene Beitrag, der innerhalb der statistischen Fehler mit nullrnverträglichrnist. Daraus lässt sich eine obere Schranke für den maximalen Beitrag desrnunverbundenen Diagramms zu $a_mu$ ermitteln, indem wir die erwarteternZeitabhängigkeit des Korrelators verwenden und ihn mit dem entsprechendenrnverbundenen Anteil vergleichen. Der unverbundenernBeitrag ist kleiner als $approx5%$ des verbundenen Anteils. Dieser Wertrnkann als systematischer Fehler verwendet werden, der aus der Vernachlässigungrndes unverbundenen Diagramms resultiert.rn