Investigations on asymptotic safety of metric, tetrad and Einstein-Cartan gravity

Among the different approaches for a construction of a fundamental quantum theory of gravity the Asymptotic Safety scenario conjectures that quantum gravity can be defined within the framework of conventional quantum field theory, but only non-perturbatively. In this case its high energy behavior is controlled by a non-Gaussian fixed point of the renormalization group flow, such that its infinite cutoff limit can be taken in a well defined way. A theory of this kind is referred to as non-perturbatively renormalizable. In the last decade a considerable amount of evidence has been collected that in four dimensional metric gravity such a fixed point, suitable for the Asymptotic Safety construction, indeed exists. This thesis extends the Asymptotic Safety program of quantum gravity by three independent studies that differ in the fundamental field variables the investigated quantum theory is based on, but all exhibit a gauge group of equivalent semi-direct product structure. It allows for the first time for a direct comparison of three asymptotically safe theories of gravity constructed from different field variables. The first study investigates metric gravity coupled to SU(N) Yang-Mills theory. In particular the gravitational effects to the running of the gauge coupling are analyzed and its implications for QED and the Standard Model are discussed. The second analysis amounts to the first investigation on an asymptotically safe theory of gravity in a pure tetrad formulation. Its renormalization group flow is compared to the corresponding approximation of the metric theory and the influence of its enlarged gauge group on the UV behavior of the theory is analyzed. The third study explores Asymptotic Safety of gravity in the Einstein-Cartan setting. Here, besides the tetrad, the spin connection is considered a second fundamental field. The larger number of independent field components and the enlarged gauge group render any RG analysis of this system much more difficult than the analog metric analysis. In order to reduce the complexity of this task a novel functional renormalization group equation is proposed, that allows for an evaluation of the flow in a purely algebraic manner. As a first example of its suitability it is applied to a three dimensional truncation of the form of the Holst action, with the Newton constant, the cosmological constant and the Immirzi parameter as its running couplings. A detailed comparison of the resulting renormalization group flow to a previous study of the same system demonstrates the reliability of the new equation and suggests its use for future studies of extended truncations in this framework.

Unter den verschiedenen Zugängen zur Konstruktion einer fundamentalen Quantentheorie der Gravitation beruht das Prinzip der Asymptotischen Sicherheit auf der Annahme, dass die Quantengravitation im Rahmen einer üblichen Quantenfeldtheorie formuliert werden kann, die allerdings nicht-perturbativ konstruiert werden muss. In diesem Fall wird das Hochenergieverhalten der Theorie durch einen nicht-Gaußchen Fixpunkt des Renormierungsgruppenflusses kontrolliert, so dass der Limes eines unendlichen Cutoffs wohldefiniert ist. Eine solche Theorie wird als nicht-perturbativ renormierbar bezeichnet. Im letzten Jahrzehnt wurden zahlreiche Hinweise gefunden, dass in vierdimensionaler, metrischer Gravitation ein solcher, für die Konstruktion einer asymptotisch sicheren Theorie geeigneter Fixpunkt in der Tat existiert. Die vorliegende Arbeit erweitert das Programm der Asymptotischen Sicherheit um drei voneinander unabhängige Studien, die sich im Feldgehalt der untersuchten Quantentheorien unterscheiden, aber in der durch ein semi-direktes Produkt gegebenen Struktur der zugrundeliegenden Eichgruppe gleichen. Die Arbeit erlaubt damit zum ersten Mal den direkten Vergleich von drei asymptotisch sicheren Theorien der Gravitation, die auf unterschiedlichen fundamentalen Feldern beruhen. Die erste Studie untersucht dabei das gekoppelte System von metrischer Gravitation und SU(N) Yang-Mills Theorie. Insbesondere wird dabei der Einfluss der Gravitation auf das Laufen der Yang-Mills Kopplungskonstante analysiert und dessen Folgen für QED und das Standardmodell diskutiert. In der zweiten Untersuchung wird zum ersten Mal eine asymptotisch sichere Theorie der Gravitation betrachtet, die allein durch das Vielbein beschrieben wird. Ihr Renormierungsgruppenfluss wird mit der entsprechenden Approximation der metrischen Theorie verglichen und der Einfluss der vergrößerten Eichgruppe analysiert. Die dritte Studie untersucht die Asymptotische Sicherheit der Gravitation im Einstein-Cartan Zugang. Dabei dient der Spinzusammenhang neben dem Vielbein als zweite fundamentale Feldvariable. Aufgrund der höheren Anzahl unabhängiger Feldkomponenten und der größeren Eichgruppe ist jede Renormierungsgruppenanalyse dieses Systems ungleich schwieriger als die analoge Rechnung im metrischen Zugang. Um die technische Komplexität der Aufgabe zu verringern wird in dieser Arbeit eine neuartige funktionale Renormierungsgruppengleichung eingeführt, die die Auswertung des Flusses auf ein rein algebraisches Problem reduziert. Um ein erstes Beispiel ihrer Eignung zu geben, wird die neue Gleichung auf eine dreidimensionale Trunkierung von Form der Holst Wirkung angewendet, die die Newton-Konstante, die kosmologische Konstante und den Immirzi-Parameter als laufende Kopplungen enthält. In einem detaillierten Vergleich mit einer früheren Studie desselben Systems wird dabei die Zuverlässigkeit der neuen Gleichung demonstriert, die sie für künftige Untersuchungen von allgemeineren Trunkierungen qualifiziert.