Deriving Deligne-Mumford stacks with perfect obstruction theories

Intersection theory on moduli spaces has lead to immense progress in certain areas of enumerative geometry. For some important areas, most notably counting stable maps and counting stable sheaves, it is important to work with a virtual fundamental class instead of the usual fundamental class of the moduli space. The crucial prerequisite for the existence of such a class is a two-term complex controlling deformations of the moduli space. Kontsevich conjectured in 1994 that there should exist derived version of spaces with this specific property. Another hint at the existence of these spaces comes from derived algebraic geometry. It is expected that for every pair of a space and a complex controlling deformations of the space their exists, under some additional hypothesis, a derived version of the space having the chosen complex as cotangent complex. In this thesis one version of these additional hypothesis is identified. We then show that every space admitting a two-term complex controlling deformations satisfies these hypothesis, and we finally construct the derived spaces.

Schnitttheorie auf Modulräumen hat in vielen Bereichen der enumerativen Geometrie zu immensen Fortschritten geführt. Für einige wichtige Probleme, allen voran das Zählen von stabilen Abbildungen und das Zählen von stabilen Garben, ist es notwendig, statt mit der Fundamentalklasse des Modulraums mit einer virtuellen Fundamentalklasse zu arbeiten. Die entscheidende Bedingung für die Existenz einer solchen virtuellen Fundamentalklasse ist, dass ein Zweitermkomplex die Deformationstheorie des Modulraums kontrolliert.Für Modulräume mit dieser Eigenschaft hat Kontsevich 1994 vermutet, dass es derivierte Versionen dieser Modulräume gibt. Ein weiteres Indiz für die Existenz dieser Räume stammt aus der Theorie der derivierten algebraischen Geometrie. Dort wird vermutet, dass für jedes Paar bestehend aus einem Modulraum und einem Komplex, der die Deformationen des Modulraums kontrolliert,unter gewissen Zusatzbedingungen ein derivierter Modulraum existiert, der den gewählten Komplex als Kotangentialkomplex besitzt. In dieser Arbeit wird eine Form dieser nötigen zusätzlichen Bedingungen formuliert. Darüber hinaus wird gezeigt, dass diese Bedingungen für jeden Modulraum, dessen Deformationstheorie durch einen 2-Term Komplex kontrolliert wird, erfüllt sind. Schließlich werden die derivierten Modulräume mit den vorgegebenen Eigenschaften konstruiert.