Mode-coupling theory: generalizations, high dimensions and microscopic dynamics

This work contains several applications of the mode-coupling theory (MCT) and is separated into three parts. In the first part we investigate the liquid-glass transition of hard spheres for dimensions d→∞ analytically and numerically up to d=800 in the framework of MCT. We find that the critical packing fraction ϕc(d) scales as d²2^(-d), which is larger than the Kauzmann packing fraction ϕK(d) found by a small-cage expansion by Parisi and Zamponi [J. Stat. Mech.: Theory Exp. 2006, P03017 (2006)]. The scaling of the critical packing fraction is different from the relation ϕc(d)∼d2^(-d) found earlier by Kirkpatrick and Wolynes [Phys. Rev. A 35, 3072 (1987)]. This is due to the fact that the k dependence of the critical collective and self nonergodicity parameters fc(k;d) and fcs(k;d) was assumed to be Gaussian in the previous theories. We show that in MCT this is not the case. Instead fc(k;d) and fcs(k;d), which become identical in the limit d→∞, converge to a non-Gaussian master function on the scale k∼d^(3/2). We find that the numerically determined value for the exponent parameter λ and therefore also the critical exponents a and b depend on the dimension d, even at the largest evaluated dimension d=800. In the second part we compare the results of a molecular-dynamics simulation of liquid Lennard-Jones argon far away from the glass transition [D. Levesque, L. Verlet, and J. Kurkijärvi, Phys. Rev. A 7, 1690 (1973)] with MCT. We show that the agreement between theory and computer simulation can be improved by taking binary collisions into account [L. Sjögren, Phys. Rev. A 22, 2866 (1980)]. We find that an empiric prefactor of the memory function of the original MCT equations leads to similar results. In the third part we derive the equations for a mode-coupling theory for the spherical components of the stress tensor. Unfortunately it turns out that they are too complex to be solved numerically.

Diese Arbeit beinhaltet mehrere Anwendungen der Modenkopplungstheorie (MCT) und ist in drei Teile gegliedert. Im ersten Teil wird der Glasübergang von harten Kugeln im Grenzfall der Dimension d→∞ analytisch und numerisch bis zu d=800 im Formalismus der MCT untersucht. Wir stellen fest, dass die kritische Packungsdichte ϕc(d) mit d²2^(-d) skaliert, was größer ist als die Kauzmann-Packungsdichte ϕK(d), die durch eine small-cage-Entwicklung von Parisi und Zamponi bestimmt worden ist [J. Stat. Mech.: Theory Exp. 2006, P03017 (2006)]. Die d-Abhängigkeit der kritischen Packungsdichte unterscheidet sich auch von der Relation ϕc(d)∼d2^(-d), die von Kirkpatrick und Wolynes festgestellt worden ist [Phys. Rev. A 35, 3072 (1987)]. Dies liegt daran, dass in den bisherigen Theorien angenommen wurde, dass die k-Abhängigkeit der kritischen kollektiven und selbst-Nichtergodizitätsparameterparameter fc(k;d) und fcs(k;d) Gaußförmig ist. Wir zeigen, dass dies in der MCT nicht der Fall ist. Stattdessen werden fc(k;d) und fcs(k;d) im Limes d→∞ identisch und konvergieren auf einer Skala k∼d^(3/2) gegen eine nicht-Gaußsche Masterfunktion. Wir erhalten, dass der numerisch bestimmte Wert des Exponenten-Parameters λ und deshalb auch die kritischen Exponenten a und b sogar bei der höchsten untersuchten Dimension d=800 von der Dimension abhängen. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Ergebnisse einer Molekular-Dynamik-Simulation von flüssigem Lennard-Jones-Argon weit vom Glasübergang entfernt [D. Levesque, L. Verlet, and J. Kurkijärvi, Phys. Rev. A 7, 1690 (1973)] mit der Modenkopplungstheorie verglichen. Wir zeigen, dass sich die Übereinstimmung zwischen Theorie und Computersimulation dabei verbessern lässt, indem paarweise Stöße der Teilchen berücksichtigt werden [L. Sjögren, Phys. Rev. A 22, 2866 (1980)]. Wir stellen auch fest, dass ein empirischer Vorfaktor der ursprünglichen MCT-Gleichungen zu ähnlichen Ergebnissen führt. Im dritten Teil wird eine Modenkopplungstheorie für die sphärischen Komponenten von Stress-Tensoren hergeleitet. Leider stellt es sich dabei heraus, dass die sich ergebenden Gleichungen zu kompliziert sind, um numerisch gelöst zu werden.