A novel functional renormalization group framework for gauge theories and gravity

In this thesis we develop further the functional renormalization group (RG) approach to quantum field theory (QFT) based on the effective average action (EAA) and on the exact flow equation that it satisfies. The EAA is a generalization of the standard effective action that interpolates smoothly between the bare action for krightarrowinfty and the standard effective action rnfor krightarrow0. In this way, the problem of performing the functional integral is converted into the problem of integrating the exact flow of the EAA from the UV to the IR. The EAA formalism deals naturally with several different aspects of a QFT. One aspect is related to the discovery of non-Gaussian fixed points of the RG flow that can be used to construct continuum limits. In particular, the EAA framework is a useful setting to search for Asymptotically Safe theories, i.e. theories valid up to arbitrarily high energies. A second aspect in which the EAA reveals its usefulness are non-perturbative calculations. In fact, the exact flow that it satisfies is a valuable starting point for devising new approximation schemes. In the first part of this thesis we review and extend the formalism, in particular we derive the exact RG flow equation for the EAA and the related hierarchy of coupled flow equations for the proper-vertices. We show how standard perturbation theory emerges as a particular way to iteratively solve the flow equation, if the starting point is the bare action. Next, we explore both technical and conceptual issues by means of three different applications of the formalism, to QED, to general non-linear sigma models (NLsigmaM) and to matter fields on curved spacetimes. In the main part of this thesis we construct the EAA for non-abelian gauge theories and for quantum Einstein gravity (QEG), using the background field method to implement the coarse-graining procedure in a gauge invariant way. We propose a new truncation scheme where the EAA is expanded in powers of the curvature or field strength. Crucial to the practical use of this expansion is the development of new techniques to manage functional traces such as the algorithm proposed in this thesis. This allows to project the flow of all terms in the EAA which are analytic in the fields. As an application we show how the low energy effective action for quantum gravity emerges as the result of integrating the RG flow. In any treatment of theories with local symmetries that introduces a reference scale, the question of preserving gauge invariance along the flow emerges as predominant. In the EAA framework this problem is dealt with the use of the background field formalism. This comes at the cost of enlarging the theory space where the EAA lives to the space of functionals of both fluctuation and background fields. In this thesis, we study how the identities dictated by the symmetries are modified by the introduction of the cutoff and we study so called bimetric truncations of the EAA that contain both fluctuation and background couplings. In particular, we confirm the existence of a non-Gaussian fixed point for QEG, that is at the heart of the Asymptotic Safety scenario in quantum gravity; in the enlarged bimetric theory space where the running of the cosmological constant and of Newton's constant is influenced by fluctuation couplings.

In dieser Doktorarbeit wird der Funktionale Renormierungsgruppen (RG) - Zugang zur Quantenfeldtheorie (QFT), basierend auf der Effective Average Action' (EAA) und der exakten Flussgleichung, die diese erfüllt, weiterentwickelt. Die EAA ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen effektiven Wirkung, die stetig zwischen der nackten Wirkung für krightarrowinfty und der gewöhnlichen effektiven Wirkung für krightarrow0 interpoliert. Hierdurch wird das eigentliche Problem des Auswertens des Funktionalintegrals überführt in die Bestimmungen des Flusses der EAA vom UV- bis hin zum IR-Bereich. Der EAA-Formalismus eignet sich auf natürliche Art und Weise zur Lösung verschieder Probleme der QFT. Ein Aspekt ist verknüpft mit der Suche nach einem Nicht-Gaußschen Fixpunkt des RG Flusses, der dazu verwendet rnwerden kann, den Kontinuums-Limes zu konstruieren. Insbesondere bietet der EAA-Formalismus einen hilfreichen Rahmen, um asymptotisch sichere Theorien zu finden, d.h. Theorien, die bis zu beliebig hohen Energien ihre Gültigkeit bewahren. Ein zweiter Aspekt, bei dem der EAA-Zugang sich als besonders hilfreich erweist, liegt im Bereich nicht-störungstheoretischer Berechnungen. Die exakte Flussgleichung, die von der EAA erfüllt wird, ist in der Tat ein wichtiger Ausgangspunkt um neue Näherungsmethoden zu entwickeln. Im ersten Teil der Arbeit geben wir eine Einführung in den Formalismus. Insbesondere wird die exakte RG Flussgleichung für die EAA und die damit verbundene Hierarchie der gekoppelten Flussgleichungen für eigentliche Vertizes hergeleitet. Wir zeigen, wie sich die gewöhnliche Störungstheorie als spezielle Form einer iterativen Lösung der RG Flussgleichung ergibt, sofern als Ausgangspunkt die nackte Wirkung herangezogen wird. Anschließend werden sowohl konzeptionelle als auch technische Fragen am Beispiel von drei verschiedenen Anwendungen des Formalismus erörtert: des QED, der allgemeinen nichtlinearen Sigma-Modells (NLsigmaM) und von Materiefeldern im gekrümmten Raum. Im Hauptteil dieser Arbeit widmen wir uns der Konstruktion der EAA für nicht-abelsche Eichtheorien und für die Quanten-Einsteingravitation (QEG), wobei wir hier den Hintergrundfeld-Formalismus verwenden, um auf eichinvariante Weise das Coarse-Graining Verfahren zu implementieren. Wir schlagen ein neues Trunkierungsverfahren vor, wobei die EAA nach Ordnungen der Feldstärke bzw. Krümmung entwickelt wird. Der wesentliche Aspekt bei der praktischen Anwendung dieses Algorithmus lieg in der Konstruktion eines neuen Hilfsmittels, um die Berechnung von funktionalen Spuren handhabbar zu machen. Dies erlaubt den Fluss aller in den Feldern analytischen Terme der EAA herauszuprojizieren. Als Anwendung zeigen wir, wie die niederenergetische effektive Wirkung der QEG als Ergebnis des integrierten RG-Flusses zu Tage tritt. Bei der Betrachtung von Theorien mit lokaler Symmetrie, welche eine Referenzskala mit sich tragen, ist die Frage nach Erhaltung der Eichsymmetrie entlang des Flusses von großer Bedeutung. Im Rahmen der EAA wird dieses Problem durch Benutzung des Hintergrundfeld-Formalismus berücksichtigt. Dies erfordert eine Erweiterung des Theorienraums in dem die EAA definiert ist, zum Raum sg. “bimetrischer” Funktionale, der sowohl von den Fluktuations- als auch den Hintergrund-Feldern abhängt. In dieser Arbeit untersuchen wir, wie die Identitäten, die aus den Symmetrien entstehen, durch die Einführung des Cutoffs modifiziert werden. Weiterhin studieren wir bimetrische Trunkierungen der EAA, die neben Fluktuations- auch Hintergrund-Kopplungen enthalten. Insbesondere bestätigen wir die Existenz des Nicht-Gaußschen Fixpunkts für die QEG, der für das Programm der Asymptotischen Sicherheit von zentraler Bedeutung ist. Wir lassen dabei erstmals zu, dass das Laufen der Kosmologischen- und der Newton-Konstante durch die Fluktuationskopplungen beeinflusst wird.