Detection of small buried objects: asymptotic factorization and MUSIC

In this work, we consider a simple model problem for the electromagnetic exploration of small perfectly conducting objects buried within the lower halfspace of an unbounded two–layered background medium. In possible applications, such as, e.g., humanitarian demining, the two layers would correspond to air and soil. Moving a set of electric devices parallel to the surface of ground to generate a time–harmonic field, the induced field is measured within the same devices. The goal is to retrieve information about buried scatterers from these data. In mathematical terms, we are concerned with the analysis and numerical solution of the inverse scattering problem to reconstruct the number and the positions of a collection of finitely many small perfectly conducting scatterers buried within the lower halfspace of an unbounded two–layered background medium from near field measurements of time–harmonic electromagnetic waves. For this purpose, we first study the corresponding direct scattering problem in detail and derive an asymptotic expansion of the scattered field as the size of the scatterers tends to zero. Then, we use this expansion to justify a noniterative MUSIC–type reconstruction method for the solution of the inverse scattering problem. We propose a numerical implementation of this reconstruction method and provide a series of numerical experiments.

In der vorliegenden Arbeit behandeln wir ein einfaches Modell für die Lokalisierung kleiner perfekt leitender unter der Erdoberfläche vergrabener Objekte mit Hilfe zeitharmonischer elektromagnetischer Wellen. Dazu betrachten wir ein unbeschränktes Zweischichtmedium (oben Luft/unten Erde) mit ebener Trennschicht und erzeugen mit Hilfe geeigneter Messgeräte, die parallel zur Trennschicht im oberen Halbraum angeordnet sein sollen, elektromagnetische Felder. Diese Felder werden an im unteren Halbraum vergrabenen Objekten gestreut, und das resultierende Streufeld wird wiederum mit obengenannten Messgeräten gemessen. Das Ziel ist, aus diesen Daten Informationen über im Boden vergrabene Objekte zu gewinnen. Mathematisch formuliert, beschäftigen wir uns mit der Analyse und der numerischen Lösung des inversen Streuproblems die Anzahl und die Positionen endlich vieler kleiner perfekt leitender Streukörper, die im unteren Halbraum eines Zweischichtmediums vergraben sind, aus Nahfeldmessungen elektromagnetischer Felder zu bestimmen. Dazu untersuchen wir zuerst das zugehörige direkte Streuproblem und beweisen mit Hilfe von Integralgleichungsmethoden anhand einer Faktorisierung des Nahfeldmessoperators eine asymptotische Entwicklung des Streufeldes für kleine Streukörper. Anschließend verwenden wir diese Entwicklung, um ein nichtiteratives Rekonstruktionsverfahren, das der Klasse der MUSIC-Verfahren zuzuordnen ist, theoretisch zu fundieren. Wir schlagen eine numerische Implementierung dieses Verfahrens vor und präsentieren ein Reihe von numerischen Ergebnissen, die unsere theoretischen Resultate bestätigen.