Functional equations of polylogarithms in motivic cohomology

For an infinite field F, we study the integral relationship between the Bloch group B_2(F) and the higher Chow group CH^2(F,3) by proving some relations corresponding to the functional equations of the dilogarithm. As a second result, the groups involved in Suslin’s exact sequence 0 → Tor^1(F^× ,F^×)∼ → CH^2(F,3) → B_2(F) → 0 are identified with homology groups of the cycle complex Z^2(F,•) computing Bloch’s higher Chow groups. Using these results, we give explicit cycles in motivic cohomology generating the integral motivic cohomology groups of some specific number fields and determine whether a given cycle in the Chow group already lives in one of the other groups of Suslin’s sequence. In principle, this enables us to find a presentation of the codimension two Chow group of an arbitrary number field. Finally, we also prove some relations in the higher Chow groups of codimension three modulo 2-torsion coming from relations in the higher Bloch group B_3(F) modulo 2-torsion. Further, we can prove a series of relations in CH^ 3(Q(zeta_p),5) for a primitive pth root of unity zeta_p.

Wir untersuchen den Zusammenhang zwischen der Blochgruppe B_2(F) und der höheren Chowgruppe CH^2(F,3) mit ganzzahligen Koeffizienten für einen unendlichen Körper F

indem wir die Gültigkeit von Relationen in der Chowgruppe beweisen, die zu charakterisierenden Funktionalgleichungen des Dilogarithmus korrespondieren. Als weiteres Ergebnis können wir die Gruppen, welche durch Suslins kurze exakte Sequenz 0 → Tor^1(F^× ,F^×)∼ → CH^2(F,3) → B_2(F) → 0 in Beziehung stehen, mit Homologiegruppen des Zykelkomplexes Z^2(F,•), der die höheren Chowgruppen berechnet, identifizieren. Mit diesen Ergebnissen geben wir explizite Zykel in der motivischen Kohomologie von ausgewählten Zahlkörpern an, die ihre höheren Chowgruppen in Kodimension zwei erzeugen. Außerdem bestimmen wir, ob ein gegebener Zykel in der Chowgruppe schon in einer der anderen Gruppen aus Suslins Sequenz enthalten ist. Letztlich beweisen wir die Gültigkeit einiger Relationen in den höheren Chowgruppe in Kodimension drei modulo 2-torsion von unendlichen Körpern, die von definierenden Relationen in der höheren Blochgruppe B_3(F) modulo 2-torsion kommen. Wir können sogar eine Serie von Relationen in CH^3(Q(zeta_p),5) für eine primitive p. Einheitswurzel zeta_p beweisen.