Automatisierte Berechnung von Feynman-Graphen

Die Berechnung von experimentell überprüfbaren Vorhersagen aus dem Standardmodell mit Hilfe störungstheoretischer Methoden ist schwierig. Die Herausforderungen liegen in der Berechnung immer komplizierterer Feynman-Integrale und dem zunehmenden Umfang der Rechnungen für Streuprozesse mit vielen Teilchen. Neue mathematische Methoden müssen daher entwickelt und die zunehmende Komplexität durch eine Automatisierung der Berechnungen gezähmt werden. In Kapitel 2 wird eine kurze Einführung in diese Thematik gegeben. Die nachfolgenden Kapitel sind dann einzelnen Beiträgen zur Lösung dieser Probleme gewidmet. In Kapitel 3 stellen wir ein Projekt vor, das für die Analysen der LHC-Daten wichtig sein wird. Ziel des Projekts ist die Berechnung von Einschleifen-Korrekturen zu Prozessen mit vielen Teilchen im Endzustand. Das numerische Verfahren wird dargestellt und erklärt. Es verwendet Helizitätsspinoren und darauf aufbauend eine neue Tensorreduktionsmethode, die Probleme mit inversen Gram-Determinanten weitgehend vermeidet. Es wurde ein Computerprogramm entwickelt, das die Berechnungen automatisiert ausführen kann. Die Implementierung wird beschrieben und Details über die Optimierung und Verifizierung präsentiert. Mit analytischen Methoden beschäftigt sich das vierte Kapitel. Darin wird das xloopsnosp-Projekt vorgestellt, das verschiedene Feynman-Integrale mit beliebigen Massen und Impulskonfigurationen analytisch berechnen kann. Die wesentlichen mathematischen Methoden, die xloops zur Lösung der Integrale verwendet, werden erklärt. Zwei Ideen für neue Berechnungsverfahren werden präsentiert, die sich mit diesen Methoden realisieren lassen. Das ist zum einen die einheitliche Berechnung von Einschleifen-N-Punkt-Integralen, und zum anderen die automatisierte Reihenentwicklung von Integrallösungen in höhere Potenzen des dimensionalen Regularisierungsparameters $epsilon$. Zum letzteren Verfahren werden erste Ergebnisse vorgestellt. Die Nützlichkeit der automatisierten Reihenentwicklung aus Kapitel 4 hängt von der numerischen Auswertbarkeit der Entwicklungskoeffizienten ab. Die Koeffizienten sind im allgemeinen Multiple Polylogarithmen. In Kapitel 5 wird ein Verfahren für deren numerische Auswertung vorgestellt. Dieses neue Verfahren für Multiple Polylogarithmen wurde zusammen mit bekannten Verfahren für andere Polylogarithmus-Funktionen als Bestandteil der CC-Bibliothek ginac implementiert.

Calculating Standard Model predictions in the context of perturbation theory is demanding. The challenge lies in the calculation of more and more complicated Feynman diagrams and in the increasing size of the calculation for scattering events with a large number of particles. New mathematical methods have to be developed and the increasing complexity has to be tamed by automatisation. A short introduction to the subject is given in chapter 2. Subsequent chapters deal with particular contributions to the solution of these problems. In chapter 3 we present a project that is going to be important for the analyses of the LHC data. The goal of the project is the calculation of one-loop corrections to processes with many particles in the final state. The numerical procedure is described and explained. It uses helicity spinors and a new tensor reduction method that avoids problems with inverse Gram determinants to a large extent. A computer program was developed that can perform the calculations automatically. The implementation is described and details about the optimization and verification are presented. Chapter 4 is concerned with analytical methods. An introduction to the xloops project is given, which can calculate various Feynman integrals analytically with arbitrary masses and momentum configurations. The major mathematical methods employed by xloops to solve the integrals are explained. Two ideas for new methods of calculation are presented. On the one hand it is the uniform treatment of one-loop N-point integrals, on the other hand it is the automated series expansion of integral solutions into higher orders of the dimensional regularization parameter $epsilon$. First results for the latter method are presented. The usefulness of the methods for automated series expansion from chapter 4 depend on the ability to numerically evaluate the expansion coefficients. The coefficients are in general multiple polylogarithms. In chapter 5 a method for the numerical evaluation of multiple polylogarithms is presented. This new method was implemented into the CC library ginac together with other polylogarithms.