Gleichmäßig dünne Basen zweiter Ordnung

Eine Menge B nicht negativer ganzer Zahlen heißt Basis h-ter Ordnung, wenn jede nicht negative ganze Zahl Summe von höchstens h Elementen von B ist. Eine der großen Fragen der additiven Zahlentheorie ist die nach der effektivsten Basis h-ter Ordnung für ein gegebenes h>=2. Im Fokus des Interesses steht dabei der immer noch offene Fall h=2. Bezeichnet B(x) die Anzahl der Elemente b aus B mit 0<b<=x, so folgt aus einfachen kombinatorischen Gründen für jede Basis B zweiter Ordnung B(x) >= af(x), wobei f die Wurzelfunktion bezeichne. Andererseits gibt es Basen B zweiter Ordnung mit B(x) <= cf(x). Daher kann man den Limes superior S(B), den Limes inferior s(B) sowie im Falle der Existenz den Limes d(B) des Quotienten B(x) / f(x) als Dichtefunktionen von Basen zweiter Ordnung betrachten. J. W. S. Cassels konstruierte 1957 eine Basis C zweiter Ordnung mit d(C)=5,196…. G. Hofmeister gab 2001 eine Basis H zweiter Ordnung mit asymptotischer Wurzeldichte d(H)=4,638… an. In der vorliegenden Arbeit wird eine Basis S zweiter Ordnung mit asymptotischer Wurzeldichte d(S)=3,464… konstruiert. Darüber hinaus wird für die von J. W. S. Cassels, für die von G. Hofmeister und für die in dieser Arbeit verwendete Klasse von Basen zweiter Ordnung gezeigt, dass die asymptotische Wurzeldichte innerhalb der jeweiligen Klasse nicht mehr zu verbessern ist. Bisher war die Frage nach möglichen Verbesserungen innerhalb der jeweiligen Konstruktionsprinzipien offen geblieben.

A set B of non-negative integers is called basis of order h if any non-negative integer is sum of at most h elements of B. One well-known question is to ask for the most efficient basis of order h for a given h>=2. The main interest is spent on the unsolved case h=2. If B(x) signs the number of positive elements of B less than x, an easy combinatorial argument gives B(x)>=af(x) where f is the root function. On the other hand there are bases with B(x)<=cf(x). Then the lower and the upper limit of the ratio of B(x) and f(x) can be used as asymptotic densities for bases of order two, and if exists the limit d(B) of the ratio, too. In 1957 Cassels constructed a basis C of order two with asymptotic density d(C)=5,196…. Hofmeister reduced the asymptotic density to d(H)=4,638… in 2001. Here we give a basis of order two with asymptotic density d(S)=3,464… . Further we show that the asymptotic density cannot be improved by using the classes of (uniformly thin) bases of order two of Cassels, of Hofmeister, and of here introduced PR-bases. The question to improvements of asymptotic density within the classes was unanswered before.