Algorithmische Methoden zur Berechnung von Vierbeinfunktionen

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit derAutomatisierung von Berechnungen virtuellerStrahlungskorrekturen in perturbativen Quantenfeldtheorien.Die Berücksichtigung solcher Korrekturen aufMehrschleifen-Ebene in der Störungsreihenentwicklung istheute unabdingbar, um mit der wachsenden Präzisionexperimenteller Resultate Schritt zu halten. Im allgemeinen kinematischen Fall können heute nur dieEinschleifen-Korrekturen als theoretisch gelöst angesehenwerden -- für höhere Ordnungen liegen nur Teilergebnissevor. In Mainz sind in den letzten Jahren einige neuartigeMethoden zur Integration von Zweischleifen-Feynmandiagrammenentwickelt und im xloops-Paket in algorithmischer Formteilweise erfolgreich implementiert worden. Die verwendetenVerfahren sind eine Kombination exakter symbolischerRechenmethoden mit numerischen. DieZweischleifen-Vierbeinfunktionen stellen in diesem Rahmenein neues Kapitel dar, das durch seine große Anzahl vonfreien kinematischen Parametern einerseits leichtunüberschaubar wird und andererseits auch auf symbolischerEbene die bisherigen Anforderungen übersteigt. Sie sind ausexperimenteller Sicht aber für manche Streuprozesse vongroßem Interesse. In dieser Arbeit wurde, basierend auf einer Idee von DirkKreimer, ein Verfahren untersucht, welches die skalarenVierbeinfunktionen auf Zweischleifen-Niveau ganz ohneRandbedingungen an den Parameterraum zu integrierenversucht. Die Struktur der nach vier Residuenintegrationenauftretenden Terme konnte dabei weitgehend geklärt und dieKomplexität der auftretenden Ausdrücke soweit verkleinertwerden, dass sie von heutigen Rechnern darstellbar sind.Allerdings ist man noch nicht bei einer vollständigautomatisierten Implementierung angelangt. All dies ist dasThema von Kapitel 2. Die Weiterentwicklung von xloops über Zweibeinfunktionenhinaus erschien aus vielfältigen Gründen allerdings nichtmehr sinnvoll. Im Rahmen dieser Arbeit wurde daher einradikaler Bruch vollzogen und zusammen mit C. Bauer und A.Frink eine Programmbibliothek entworfen, die als Vehikel fürsymbolische Manipulationen dient und es uns ermöglicht,übliche symbolische Sprachen wie Maple durch C++ zuersetzen. Im dritten Kapitel wird auf die Gründeeingegangen, warum diese Umstellung sinnvoll ist, und dabeidie Bibliothek GiNaC vorgestellt. Im vierten Kapitel werdenDetails der Implementierung dann im Einzelnen vorgestelltund im fünften wird sie auf ihre Praxistauglichkeituntersucht. Anhang A bietet eine Übersicht über dieverwendeten Hilfsmittel komplexer Analysis und Anhang Bbeschreibt ein bewährtes numerisches Instrument.

This thesis deals with the automatization of computations ofvirtual radiative corrections in perturbative quantum fieldtheories. The consideration of such corrections on themultiloop-level in the perturbative expansion isindispensable for matching the increasing precision ofexperimental results. Only oneloop-corrections can be considered as theoreticallysolved in the general kinematic case -- for higher ordersonly partial results exist. During the last few years ourgroup has developed several new methods for integratingtwoloop Feynman diagrams and implemented them as algorithmsin the xloops package. The methods used there are acombination of exact symbolic and numeric techniques. Inthat framework, twoloop-fourleg functions constitute a newchapter of its own. Due to its large number of freekinematic parameters it rapidly becomes both disconcertingand transcends common symbolic requirements. On theexperimental side they are, however, quite interesting forsome scattering processes. Based on an idea by Dirk Kreimer a technique is studied,which tries to integrate scalar fourleg functions on thetwoloop level entirely without boundary conditions on theparameter space. The structure of the terms remaining afterfour residue integrations could be largely clarified and thecomplexity of the remaining terms reduced to a leveltractable with present-day computers. However, a completelyautomated implementation was not yet be reached. All thisis the subject of chapter 2. Further development of xloops above twoleg functions did notseem reasonable for a number of reasons. During this work,a radical cut was performed and together with C. Bauer andA. Frink a new program library capable of serving as avehicle for symbolic manipulations was build. It enables usto replace the usual symbolic languages like Maple with C++.The third chapter will outline the reasons why thistransition is considered reasonable and by the way introducethe GiNaC library. The fourth chapter presents some detailsof its implementation and the fifth scrutinizes itsusability in practice. Appendix A lists several tools fromcomplex analysis and appendix B describes an establishednumerical instrument.