Charakterisierung und Konvergenz mehrdimensionaler kontinuierlicher Verzweigungsprozesse

In dieser Arbeit wird eine Klasse von stochastischen Prozessen untersucht, die eine abstrakte Verzweigungseigenschaft besitzen. Die betrachteten Prozesse sind homogene Markov-Prozesse in stetiger Zeit mit Zuständen im mehrdimensionalen reellen Raum und dessen Ein-Punkt-Kompaktifizierung. Ausgehend von Minimalforderungen an die zugehörige Übergangsfunktion wird eine vollständige Charakterisierung der endlichdimensionalen Verteilungen mehrdimensionaler kontinuierlicher Verzweigungsprozesse vorgenommen. Mit Hilfe eines erweiterten Laplace-Kalküls wird gezeigt, dass jeder solche Prozess durch eine bestimmte spektral positive unendlich teilbare Verteilung eindeutig bestimmt ist. Umgekehrt wird nachgewiesen, dass zu jeder solchen unendlich teilbaren Verteilung ein zugehöriger Verzweigungsprozess konstruiert werden kann. Mit Hilfe der allgemeinen Theorie Markovscher Operatorhalbgruppen wird sichergestellt, dass jeder mehrdimensionale kontinuierliche Verzweigungsprozess eine Version mit Pfaden im Raum der cadlag-Funktionen besitzt. Ferner kann die (funktionale) schwache Konvergenz der Prozesse auf die vage Konvergenz der zugehörigen Charakterisierungen zurückgeführt werden. Hieraus folgen allgemeine Approximations- und Konvergenzsätze für die betrachtete Klasse von Prozessen. Diese allgemeinen Resultate werden auf die Unterklasse der sich verzweigenden Diffusionen angewendet. Es wird gezeigt, dass für diese Prozesse stets eine Version mit stetigen Pfaden existiert. Schließlich wird die allgemeinste Form der Fellerschen Diffusionsapproximation für mehrtypige Galton-Watson-Prozesse bewiesen.

This thesis examines a class of stochastic processes posessing an abstract branching property. These processes are homogeneous Markov processes in continuous time taking values in multidimensional real space and its one-point-compactification. Starting from minimal assumptions on the corresponding transition probabilities we are able to completely characterize the finite-dimensional distribution of a multidimensional continuous branching process. Using an extended Laplace calculus it is shown that the process is uniquely determined by a certain spectrally positive infinitely divisible distribution, from which in turn the process can be constructed. We apply the general theory of Markovian operator semigroups in order to establish the existence of a version of the process posessing paths in the space of cadlag-functions. In addition we connect the (functional) weak convergence of the processes to the vague convergence of the corresponding characterizations. From this we deduce general approximation and convergence theorems for the class of processes under consideration. These general results are applied to the subclass of branching diffusions. The existence of versions of these processes posessing continuous paths is shown. Finally we prove Feller's diffusion approximation of multitype Galton-Watson processes in its most general form.