Filtros otimizados para transformadas seno, co-seno e de Hankel j₀, j₁ e j₂

Apresentamos dois algoritmos automáticos, os quais se utilizam do método dos mínimos quadrados de Wiener-Hopf, para o cálculo de filtros lineares digitais para as transformadas seno, co-seno e de Hankel J₀, J₁ e J₂. O primeiro, que otimiza os parâmetros: incremento das abscissas, abscissa inicial e o fator de deslocamento utilizados para os cálculos dos coeficientes dos filtros lineares digitais que são aferidos através de transformadas co-seno, seno e o segundo, que otimiza os parâmetros: incremento das abscissas e abscissa inicial utilizados para os cálculos dos coeficientes dos filtros lineares digitais que são aferidos através de transformadas de Hankel J₀, J₁ e J₂. Esses algoritmos levaram às propostas de novos filtros lineares digitais de 19, 30 e 40 pontos para as transformadas co-seno e seno e de novos filtros otimizados de 37 , 27 e 19 pontos para as transformadas J₀, J₁ e J₂, respectivamente. O desempenho dos novos filtros em relação aos filtros existentes na literatura geofísica é avaliado usando-se um modelo geofísico constituído por dois semi-espaços. Como fonte usou-se uma linha infinita de corrente entre os semi-espaços originando, desta forma, transformadas co-seno e seno. Verificou-se melhores desempenhos na maioria das simulações usando o novo filtro co-seno de 19 pontos em relação às simulações usando o filtro co-seno de 19 pontos existente na literatura. Verificou-se também a equivalência de desempenhos nas simulações usando o novo filtro seno de 19 pontos em relação às simulações usando o filtro seno de 20 pontos existente na literatura. Adicionalmente usou-se também como fonte um dipolo magnético vertical entre os semi-espaços originando desta forma, transformadas J₀ e J₁, verificando-se melhores desempenhos na maioria das simulações usando o novo filtro J₁ de 27 pontos em relação ao filtro J₁ de 47 pontos existente na literatura. Verificou-se também a equivalência de desempenhos na maioria das simulações usando o novo filtro J₀ de 37 pontos em relação ao filtro J₀ de 61 pontos existente na literatura. Usou-se também como fonte um dipolo magnético horizontal entre os semi-espaços, verificando-se um desempenho análogo ao que foi descrito anteriormente dos novos filtros de 37 e 27 pontos para as respectivas transformadas J₀ e J₁ em relação aos filtros de 61 e 47 pontos existentes na literatura, destas respectivas transformadas. Finalmente verificou-se a equivalência de desempenhos entre os novos filtros J₀ de 37 pontos e J₁ de 27 pontos em relação aos filtros de 61 e 47 pontos existentes na literatura destas transformadas, respectivamente, quando aplicados em modelos de sondagens elétricas verticais (Wenner e Schlumberger). A maioria dos nossos filtros contêm poucos coeficientes quando comparados àqueles geralmente usados na geofísica. Este aspecto é muito importante porque transformadas utilizando filtros lineares digitais são usadas maciçamente em problemas numéricos geofísicos.

ABSTRACT: We present two automatic algorithms, which use the Wiener-Hopf least-square method, for the calculation of digital linear filters for sine, co-sine transforms and J₀, J₁ and J₂ Hankel transforms. The first algorithm optimizes the following parameters: abscissa increments, initial abscissas and displacement factor for the computation of digital linear filters coefficients that are computed through sine and co-sine analytic transforms. The second algorithm optimizes the following parameters: abscissa increments and initial abscissas for the computation of digital linear filters coefficients that are computed through J₀, J₁ and J₂ Hankel analytic transforms. This methodology led to the proposition of new digital linear filters of 19, 30 and 40 points for the co-sine and sine transforms, and to new optimized filters of 37, 27 and 19 points for the J₀, J₁ and J₂ Hankel transforms, respectively. The comparison of the performance of these filters with respect to the others ones published in the geophysical literature is evaluated by using a analytical geophysical model composed of two half spaces. An infinite current line was used between the half spaces, giving rise to the sine and co-sine transforms. Among all simulations carried out, it was noticed that the new sine and co-sine transforms of 19 points presented better performance when compared to the existing ones in the literature. In addition, J₀ and J₁ transforms were obtained using a vertical magnetic dipole as source between the half spaces, noticing that better performances using the new J₁ filter of 27 points were obtained among all simulations when compared to the existing 47 points J₁ filters, as well as with the simulations carried out using the new 37 points J₀ filter and compared with the 61 points J₀ existing filters in the literature. Using a horizontal magnetic dipole between the half spaces, it was observed an equivalent performance using the 37 and 27 points new filters for the J₀ and J₁ transforms when compared, respectively, to the existing 61 and 47 points filters in the literature. Finally, it was observed an equivalent performance using 37 and 27 points new filters for the J₀ and J₁ transforms when compared, respectively, to the existing 61 and 47 points in the literature, and when applied, respectively, in Wenner and Schlumberger electrical soundings. Most of our filters contain fewer coefficients than those usually used in geophysics. This aspect is very important because these linear filter transforms are commonly used intensively in numerical massively geophysical problems.