Um estudo sobre sincronização no modelo de Kuramoto

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Pós-graduação em Física - IFT

Este texto é dedicado ao estudo do fenômeno de sincronização no modelo de Kuramoto. Na primeira parte o foco reside na formulação original do modelo no limite termodinâmico de infinitos osciladores e na descrição da transição para a sincronização e estabilidade das soluções em sistemas com número finito de elementos. Mostra-se também que o acoplamento crítico de sincronização 'K IND s' é determinado por um par de equações, e a solução para um caso especial com simetria na configuração de frequências naturais é obtida de forma perturbativa. A segunda parte do texto é focada na descrição do modelo de Kuramoto com acoplamento local em 1 dimensão com condições periódicas de contorno. A estrutura de árvores de sincronização média é descrita, onde ocorrem transições entre regimes caóticos e periódicos dos movimentos individuais dos osciladores. A iminência da sincronização é explorada através uma série de aproximações que mostram o comportamento crítico característico de uma bifurcação sela-nó responsável pela sincronização. A partir da definição de uma função na região sincronizada é mostrado que o acoplamento crítico de sincronização é obtido exatamente através da minimização dessa função. Através de uma sequência de exemplos de configurações com simetria é mostrado que a região sincronizada do sistema apresenta uma estrutura de múltiplas soluções estáveis, sendo a sua caracterização, análise de estabilidade e descrição das bifurcações realizada para o caso com frequências aleatórias arbitrariamente distribuídas

This text is devoted to the study of the synchronization phenomena in the Kuramoto model. In its first part the focus lies on its original formulation of infinitely many oscillators and on the description of the synchronization transition and solutions’ stability for systems with a finite number of elements. It is shown that a pair of equations characterize the critical synchronization coupling Ks, and the solution for a special case with symmetry on its natural frequencies configuration is obtained in a perturbatively way. The second part of the text is focused on the 1-dimensional Kuramoto model with periodic boundary conditions. The synchronization tree structure is described, where it is observed several transitions between chaotic and periodic regimes among the individual oscillators. The onset on synchronization is explored through a series of approximations that show the characteristic critical behavior of a saddle node bifurcation, which is responsible for the synchronization. By defining a function on the synchronized region it is shown that the critical synchronization coupling is exactly determined by the function’s minimization process. Through a sequence of examples with symmetry on its configurations it is shown that the synchronized region presents a structure of multiple stable solutions. Its complete characterization, stability analysis and bifurcations’ description is carried through for the case with randomly distributed natural frequencies