Estudo de Fractalidade e Evolução Dinâmica de Sistemas Complexos

In this work, the study of some complex systems is done with use of two distinct procedures. In the first part, we have studied the usage of Wavelet transform on analysis and characterization of (multi)fractal time series. We have test the reliability of Wavelet Transform Modulus Maxima method (WTMM) in respect to the multifractal formalism, trough the calculation of the singularity spectrum of time series whose fractality is well known a priori. Next, we have use the Wavelet Transform Modulus Maxima method to study the fractality of lungs crackles sounds, a biological time series. Since the crackles sounds are due to the opening of a pulmonary airway bronchi, bronchioles and alveoli which was initially closed, we can get information on the phenomenon of the airway opening cascade of the whole lung. Once this phenomenon is associated with the pulmonar tree architecture, which displays fractal geometry, the analysis and fractal characterization of this noise may provide us with important parameters for comparison between healthy lungs and those affected by disorders that affect the geometry of the tree lung, such as the obstructive and parenchymal degenerative diseases, which occurs, for example, in pulmonary emphysema. In the second part, we study a site percolation model for square lattices, where the percolating cluster grows governed by a control rule, corresponding to a method of automatic search. In this model of percolation, which have characteristics of self-organized criticality, the method does not use the automated search on Leaths algorithm. It uses the following control rule: pt+1 = pt + k(Rc − Rt), where p is the probability of percolation, k is a kinetic parameter where 0 < k < 1 and R is the fraction of percolating finite square lattices with side L, LxL. This rule provides a time series corresponding to the dynamical evolution of the system, in particular the likelihood of percolation p. We proceed an analysis of scaling of the signal obtained in this way. The model used here enables the study of the automatic search method used for site percolation in square lattices, evaluating the dynamics of their parameters when the system goes to the critical point. It shows that the scaling of , the time elapsed until the system reaches the critical point, and tcor, the time required for the system loses its correlations, are both inversely proportional to k, the kinetic parameter of the control rule. We verify yet that the system has two different time scales after: one in which the system shows noise of type 1 f , indicating to be strongly correlated. Another in which it shows white noise, indicating that the correlation is lost. For large intervals of time the dynamics of the system shows ergodicity

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico

Neste trabalho, o estudo de alguns sistemas complexos é feito com a utilização de dois procedimentos distintos. Na primeira parte, estudamos a utilização da transformada Wavelet na análise e caracterização (multi)fractal de séries temporais. Testamos a confiabilidade do Método do Máximo do Módulo da Transformada Wavelet (MMTW) com relação ao formalismo multifractal, por meio da obtenção do espectro de singularidade de séries temporais cuja fractalidade é bem conhecida a priori. A seguir, usamos o método do máximo do módulo da transformada wavelet para estudar a fractalidade dos ruídos de crepitação pulmonar, uma série temporal biológica. Uma vez que a crepitação pulmonar se dá no momento da abertura de uma via aérea – brônquios, bronquíolos e alvéolos – que estava inicialmente fechada, podemos obter informações sobre o fenômeno de abertura em cascata das vias aéreas de todo o pulmão. Como este fenômeno está associado à arquitetura da árvore pulmonar, a qual apresenta geometria fractal, a análise e caracterização da fractalidade desse ruído pode nos fornecer importantes parâmetros de comparação entre pulmões sadios e aqueles acometidos por patologias que alteram a geometria da árvore pulmonar, tais como as doenças obstrutivas e as de degeneração parenquimatosa, que ocorre, por exemplo, no enfisema pulmonar. Na segunda parte, estudamos um modelo de percolação por sítios em rede quadrada, onde o aglomerado de percolação cresce governado por uma regra de controle, correspondendo a um método de busca automática. Neste modelo de percolação, que apresenta características de criticalidade auto-organizada, o método de busca automática não usa o algoritmo de Leath. Usa-se a seguinte regra de controle: pt+1 = pt +k(Rc −Rt), onde p é a probabilidade de percolação, k é um parâmetro cinético onde 0 < k < 1 e R é a fração de redes quadradas finitas de lado L, LxL, percolantes. Esta regra fornece uma série temporal correspondente à evolução dinâmica do sistema, em especial da probabilidade de percolação p. É feita uma análise de escalas do sinal assim obtido. O modelo aqui utilizado permite que o método de busca automática para a percolação por sítios em rede quadrada seja, per si, estudado, avaliando-se a dinâmica dos seus parâmetros quando o sistema se aproxima do ponto crítico. Verifica-se que os escalonamentos de τ, o tempo decorrido até que o sistema chegue ao ponto crítico, e de tcor, o tempo necessário para que o sistema perca suas correlações, são, ambos, inversamente proporcionais a k, o parâmetro cinético da regra de controle. Verifica-se ainda que o sistema apresenta duas escalas temporais distintas depois de τ : uma em que o sistema mostra ruído do tipo 1 fρ , indicando ser fortemente correlacionado; outra em que aparece um ruído branco, indicando que se perdeu a correlação. Para grandes intervalos de tempo a dinâmica do sistema mostra que ele se comporta como um sistema ergódico