Differentiaaliyhtälöt lukiolaisille

Tutkielman aiheena on differentiaaliyhtälöt. Tarkoituksena on, että tämä tutkielma toimisi oppikirjana lukion differentiaaliyhtälöiden kurssille. Aluksi kerrataan derivaatan ja integraalin määritelmät. Tämän jälkeen suoritetaan johdatus differentiaaliyhtälöihin. Pääasiasssa perehdytään ensimmäisen kertaluvun yhtälöihin, vaikka useamman kertaluvun yhtälöt mainitaankin teoksessa. Kun differentiaaliyhtälön käsite on määritelty tarkastellaan Sage-ohjelmistoa. Tarkoituksena on, että Sage olisi tukena yhtälöitä ratkaistaessa. Sagen avulla käydään läpi suuntakenttien ja kuvaajien piirtäminen sekä differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen. Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen aloitetaan separoituvista yhtälöistä, jonka jälkeen siirrytään lineaariseen ja eksaktiin yhtälöön. Näillä metodeilla ratkeaa suuri osa ensimmäisen kertaluvun yhtälöistä. Tämän jälkeen esitellään sopivia muunnoksia, joilla tietyt yhtälötyypit muuttuvat helpommin ratkaistavaan muotoon. Tällaisia tapauksia ovat esimerkiksi Bernoullin ja Riccatin yhtälö. Viimeisessä kappaleessa perehdytään differentiaaliyhtälöiden sovelluksiin. Differentiaaliyhtälöihin päädytään muun muassa fysiikan maailmassa sekä populaatioita tarkkailtaessa.