Gravitaatioteorioiden Palatini-formalismi

Viime vuosisadan lopulla tehtiin tärkeä havainto supernovista: galaksit näyttävät loittenevan kiihtyvällä vauhdilla. Näiden havaintojen jälkeen yleistetyt gravitaatioteoriat ovat nousseet huomattavan kiinnostuksen kohteiksi. Näillä uusilla teorioilla voidaan mahdollisesti selittää maailmankaikkeuden kiihtyvä laajeneminen ilman pimeää energiaa. Tässä tutkielmassa on perehdytty yhteen mahdolliseen yleistykseen: Palatini-formalismiin f(R)-teorioissa. Yleisessä suhteellisuusteoriassa aika-avaruuden ominaisuudet seuraavat metriikasta. Tämä on erikoistapaus Palatiniformalismissa, jossa yhdensuuntaissiirtoon liittyvä konnektio on metriikasta riippumaton. Palatini-formalismi selviää samoista testeistä kuin erikoistapauksensa, yleinen suhteellisuusteoria. Käsitellyt Lagrangen tiheydet ovat f(R)-muotoa eli kaarevuuden funktioita. Tutkielmassa on aluksi perehdytty menetelmän historiaan. Taustojen selvittelyn jälkeen käsitellään Palatini-formalismia yksinkertaisessa tapauksessa, jossa konnektio on symmetrinen. Erikoistapauksena käsitellään eräs Lagrangen tiheys, jolla voidaan selittää maailmankaikkeuden kiihtyvä laajeneminen. Palatini-formalismiin kohdistunutta kritiikkiä on myös tarkasteltu _ mikään ei kuitenkaan sulje menetelmää pois laskuista. Vaikka Palatini-formalismia tarkastellaan tavallisesti symmetrisen konnektion tapauksessa, on yksi tutkielman luku omistettu yleisemmälle tapaukselle. Osoittautuu, että monet symmetriseen konnektioon liitetyt ominaisuudet seuraavat yleisemmästäkin tapauksesta, mutta ilman tarvetta lisäoletuksiin. Samassa luvussa on myös tarkasteltu materian osuutta Lagrangen tiheydessä. Tutkielman lopussa on tarkasteltu mahdollisuuksia hyödyntää symmetriaa konnektion määräämisessä. Tätä mahdollisuutta ei ole juurikaan tutkittu aiemmin. Havainnot ovat osoittaneet, että maailmankaikkeudessa esiintyy symmetriaa. Tensorien muotoinvarianssia hyödynnetään konnektion komponenttien laskemiseen. Yleisessä tapauksessa konnektiolla on 64 komponenttia, jotka voivat riippua ajasta ja paikasta. Homogeenisessa ja isotrooppisessa tapauksessa vapausasteet saadaan rajoitettua neljään vain ajasta riippuvaan funktioon. Pallosymmetrisessä tapauksessa vapausasteita jää 14 ajasta ja säteestä riippuvaa funktiota. Näitä tuloksia ei tiettävästi ole laskettu muualla. Tässä laskettuja tuloksia voidaan hyödyntää sijoittamalla huomattavasti rajatut konnektion komponentit kenttäyhtälöihin. Näin saadut yhtälöt ovat huomattavasti yksinkertaisempia. Käyttömahdollisuudet eivät rajoitu pelkästään Palatini-formalismiin, vaan kirjoittamalla Lagrangen tiheys tietyllä tavalla, voidaan tuloksia käyttää myös puhtaasti metrisessä formalismissa.