Coifman-aallokkeet ja skaalaussuotimen muodostus differentiaalievoluut ion avulla

Ortogonaalisen M-kaistaisen moniresoluutioanalyysin matemaattiset perusteet esitetään yksityiskohtaisesti. Coifman-aallokkeiden määritelmä yleistetään dilaatiokertoimelle M ja nollasta poikkeavalle häviävien momenttien keskukselle.Funktion approksimointia näytepisteistä aallokkeiden avulla pohditaan ja erityisesti esitetään approksimaation asymptoottinen virhearvio Coifman-aallokkeille. Skaalaussuotimelle osoitetaan välttämättömät ja riittävät ehdot, jotka johtavat yleistettyihin Coifman-aallokkeisiin. Moniresoluutioanalyysin tiheys todistetaansuoraan Lebesguen integraalin määritelmään perustuen yksikön partitio-ominaisuutta käyttäen. Todistus on riittävä sellaisenaan avaruudessa L2(Wd) käyttämättä Fourier-tason ominaisuuksia tai ehtoja. Mallatin algoritmi johdetaan M-kaistaisille aallokkeille ja moniuloitteisille signaaleille. Algoritmille esitetään myös rekursiivinen muoto. Differentiaalievoluutioalgoritmin avulla ratkaistaan Coifman-aallokkeisiin liittyvien skaalaussuotimien kertoimien arvoja useille skaalausfunktiolle. Approksimaatio- ja kuvanpakkausesimerkkejä esitetään menetelmien havainnollistamiseksi. Differentiaalievoluutioalgoritmin avulla etsitään myös referenssikuville optimoitu skaalaussuodin. Löydetty suodin on regulaarinen ja erittäinsymmetrinen.

Mathematical background of an orthogonal M-band multiresolution analysis is reviewed in detail. The definition of the Coifletsis generalized to the M-band case, and for a center of vanishing moments that are different from zero. Sampling approximation with wavelets is discussed, and especially, the asymptotic error estimate is derived for the Coiflets. Necessary and sufficient conditions are derived for a scaling filter to generate generalized Coiflets. The multiresolution analysis being dense is directly proved by using the definition of the Lebesgue integral and partition of unity property. The proof is directly applicable in L2(Rd), and furthermore, it does not use any Fourier-domain information or conditions. Algorithm of Mallat is derived for the M-band case and for multidimensional signals. Recursive form of the algorithm is also presented. Many scaling filters related to generalized Coiflets are found using a differential evolution algorithm. The differential evolution algorithm is also used to optimize the scaling filter for reference images. The founded filteris regular and very symmetric.