Momentos e funções geradoras

No estudo da Teoria da Probabilidade está sempre presente o tratamento dos momentos das diversas distribuições estudadas, desde que os mesmos existam. O seu significado pleno, contudo, fica longe de ser percebido e integrado na compreensão adequada das correspondentes distribuições. Em contrapartida, de um modo muito geral, as funções geradoras de probabilidades e de momentos, a função caraterística e os cumulantes, só muito ligeiramente são abordados, passando completamente em claro o seu significado, as suas relações, as respetivas potencialidades, e, mais ainda que tudo isto, o seu potencial explicativo sobre o tipo de distribuição resultante de operações algébricas, ou mesmo transcendentes, entre variáveis aleatórias diversas.

Quando se trabalha com uma distribuição probabilística, seja discreta ou contínua, é essencial conhecer o domínio da correspondente variável aleatória, ou vetor aleatório, e a respetiva função massa de probabilidade ou função densidade de probabilidade, ou, em alternativa, a função distribuição. O conhecimento do domínio da variável aleatória em estudo determina, de imediato, o âmbito de tratamento do problema, em cujo seio se consideram os acontecimentos que podem ter interesse para o problema. Em contrapartida, este conhecimento não permite compreender completamente a estrutura da distribuição probabilística em causa. De um modo geral, essa estrutura está muito distante da uniformidade, sendo, pela natureza das coisas, expectável que a mesma se concentre em torno de um ponto distante dos extremos do domínio da variável aleatória em estudo, atenuando-se à medida que se caminha para esses extremos