Teorema de Noether do Cálculo das Variações e Controlo Óptimo Estocásticos

Neste trabalho começamos por apresentar os problemas clássicos do cálculo das variações e controlo óptimo determinísticos, dando ênfase ás condições necessárias de optimalidade de Euler-Lagrange e Princípioípio do Máximo de Pontryagin (Capítulo 1). No Capítulo 2 demonstramos o Teorema de Noether do cálculo das variações e uma sua extensão ao controlo óptimo. Como exemplos de aplicação mencionamos as leis de conservação de momento e energia da mecânica, válidas ao longo das extremais de Euler-Lagrange ou das extremais de Pontryagin. Numa segunda parte do trabalho introduzimos o cálculo das variações estocástico (Capítulo 3) e demonstramos um teorema de Noether estocástico obtido recententemente por Jacky Cresson (Capítulo 4). O Capítulo 5 ´e dedicado á programação dinâmica: caso discreto e contínuo, caso determinístico e estocástico.

O problema primeiramente colocado no cálculo das variações deve-se a Galileu, que pretendeu, em 1630, resolver a questão de determinar a trajectória óptima que minimizasse o tempo que uma partícula demora a percorrer entre dois pontos por acção exclusiva da gravidade. Algumas décadas mais tarde, este problema viria a ser formalizado pelos irmãos Bernoulli, Newton, Leibniz, Euler e Lagrange, quase imediatamente a seguir `a invenção do cálculo diferencial e integral por Newton e Leibniz. Um importante problema que ocorre no cálculo é encontrar um argumento de uma função no qual ela toma um valor máximo ou mínimo. O cálculo das variações é uma extensão deste problema, que consiste em encontrar uma função que maximize ou minimize o valor de um integral (chamado funcional) dessa função. Já no século XIX e princípio do século XX, muitos autores contribuíram para a teoria da solução de problemas do cálculo das variações. Entre outros, sobressaem os nomes de Weierstrass, Bliss e Bolza.