Developing discontinuous Galerkin methods for the resolution of the incompressible Navier-Stokes equations

Informe de investigación elaborado a partir de una estancia en el Laboratorio de Diseño Computacional en Aeroespacial en el Massachusetts Institute of Technology (MIT), Estados Unidos, entre noviembre de 2006 y agosto de 2007. La aerodinámica es una rama de la dinámica de fluidos referida al estudio de los movimientos de los líquidos o gases, cuya meta principal es predecir las fuerzas aerodinámicas en un avión o cualquier tipo de vehículo, incluyendo los automóviles. Las ecuaciones de Navier-Stokes representan un estado dinámico del equilibrio de las fuerzas que actúan en cualquier región dada del fluido. Son uno de los sistemas de ecuaciones más útiles porque describen la física de una gran cantidad de fenómenos como corrientes del océano, flujos alrededor de una superficie de sustentación, etc. En el contexto de una tesis doctoral, se está estudiando un flujo viscoso e incompresible, solucionando las ecuaciones de Navier- Stokes incompresibles de una manera eficiente. Durante la estancia en el MIT, se ha utilizado un método de Galerkin discontinuo para solucionar las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles usando, o bien un parámetro de penalti para asegurar la continuidad de los flujos entre elementos, o bien un método de Galerkin discontinuo compacto. Ambos métodos han dado buenos resultados y varios ejemplos numéricos se han simulado para validar el buen comportamiento de los métodos desarrollados. También se han estudiado elementos particulares, los elementos de Raviart y Thomas, que se podrían utilizar en una formulación mixta para obtener un algoritmo eficiente para solucionar problemas numéricos complejos.

Report for the scientific sojourn at the the Aerospace Computational Design Laboratory at the Massachusetts Institute of Technology (MIT), Unitd States, from November 2006 to august 2007. Aerodynamics is a branch of fluid dynamics concerned with the study of gas flows, whose major goal is to predict the aerodynamic forces on an aircraft or any type of vehicle, including automobiles. The Navier-Stokes equations are a dynamical statement of the balance of forces acting at any given region of the fluid. They are one of the most useful sets of equations because they describe the physics of a large number of phenomena like ocean currents, water flow in a pipe, flow around an airfoil, etc. Within the context of a PhD thesis is to study the flow of an incompressible viscous fluid, by solving the incompressible Navier-Stokes equations in an efficient way. During the stay at the MIT, it has been used a discontinuous Galerkin approach to solve the incompressible Navier-Stokes equations using either an interior penalty function or a compact discontinuous Galerkin method. Both methods have given good results and numerical examples have been simulated to validate the good behaviour of the methods developed. Besides, it have been studied particular types of elements, the Raviart and Thomas elements, which could be used in a mixed finite element formulation in order to obtain an efficient algorithm to solve complex numerical problems.