Métodos analíticos e numéricos do tipo elementos finitos contínuos e contínuos/descontínuos para o estudo de modelos de Boussinesq melhorados para a propagação de ondas

Dissertação para obtenção do Grau de Doutor em Matemática na área de especialização de Análise Numérica

Nesta dissertação, alguns modelos analíticos e numéricos são desenvolvidos para a geração e a propagação de ondas marítimas de superfície, tsunamis, ondas de som em plasmas, ondas em redes não lineares de átomos e vibrações em molas não lineares. Estes problemas não lineares de valores na fronteira e iniciais são resolvidos recorrendo a métodos assimptóticos e numéricos do tipo Galerkin de elementos finitos contínuos e contínuos/descontínuos com termos de penalização. Os algoritmos numéricos são escritos em linguagem C++ e implementados através do código designado por DOLFWAVE que desenvolvemos durante este trabalho de investigação científica. No primeiro problema, o modelo de Zhao et al. é estendido de forma a incluir efeitos de dissipação e de absorção da energia das ondas marítimas de superfície. Diversos mecanismos para a geração de ondas são também considerados. A relação de dispersão para este modelo estendido é deduzida e uma análise matricial da estabilidade do problema linearizado é também apresentada. Mostramos que este modelo é robusto com respeito às instabilidades relacionadas com gradientes acentuados da batimetria. Fenómenos físicos tais como actividades sísmicas no fundo do oceano e a dinâmica de ondas marítimas em portos de abrigo são, entre outros, problemas investigados usando este modelo optimizado. Uma nova classe de sistemas não lineares do tipo Boussinesq é deduzida no segundo problema. As funções incógnita desta classe de sistemas são a elevação da superfície da onda marítima e o potencial da velocidade do fluido. As características dispersivas assim como o gradiente de empolamento da onda são optimizados através da inclusão de um termo extra de ordem O(μ2n+2) (n 2 N). Este termo extra é introduzido no desenvolvimento assimptótico do potencial da velocidade do fluido o qual é realizado em termos dos parâmetros de onda longa e de onda de pequena amplitude, denotados por μ e ", respectivamente. Uma condição do tipo Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) é obtida para o problema linearizado com batimetria constante. A consistência da relação de dispersão deste modelo assim como as suas boas propriedades de estabilidade são verificadas. Através da simulação de vários testes numéricos conclui-se que esta nova classe de sistemas é apropriada para a modelação de ondas de superfície na água. No terceiro problema, uma classe de equações do tipo Korteweg, de Vries–Benjamin, Bona e Mahony (KdV-BBM) é deduzida. O parâmetro de Nwogu é determinado de modo a optimizar o potencial da velocidade do modelo KdV-BBM linearizado. Para além disso, uma análise numérica do modelo proposto é realizada. A relação de dispersão associada ao esquema numérico bem como uma condição do tipo CFL são obtidas para o modelo linearizado. A consistência da relação de dispersão do modelo numérico é também investigada. Mostramos que o parâmetro de penalização associado às equações discretas actua como um filtro numérico para ondas de menor comprimento. Concluímos que o modelo KdV-BBM é menos susceptível a instabilidades do que o modelo KdV. Por último, uma nova equação diferencial do tipo Boussinesq de sexta ordem para a modelação de ondas bidireccionais é proposta. Soluções exactas do tipo onda de translação são obtidas utilizando-se, entre outros, os métodos de integração directa e de expansão G0/G. Uma nova solução analítica do tipo onda de translação é apresentada. Esta solução é o limite uniforme de uma série geométrica cuja razão é proporcional à solução clássica do tipo solitão da forma do quadrado de uma secante hiperbólica.