Uma extensão da representação de Munn e o grau de separação dos idempotentes de um block-group

Actas do Encontro de Algebristas Portugueses 2005, Braga, Portugal, Centro de Matemática da Universidade do Minho, (2006),p. 105-116

É bem conhecido que todo o semigrupo [finito] pode ser fielmente representado por transformações parciais ou totais sobre um conjunto [finito] apropriado. Assim, dado um semigrupo finito S, podemos considerar naturalmente o problema de determinar o menor inteiro não negativo n tal que S pode ser mergulhado no monoide PT n de todas as transformações parciais de um conjunto com n elementos. Esta questão deriva de um problema colocado por B. Schein em 1972 [12] e foi resolvida por D. Easdown em 1987 [2] para semigrupos finitos inversos fundamentais. Neste trabalho apresentamos o estudo do problema análogo ao descrito atrás considerando representações que separam os idempotentes em vez de representações¯leis. Para um block-group (finito) S, exibimos uma descrição do menor inteiro não negativo n tal que existe um homomorfismo que separa idempotentesde S em PT n. Uma vez que, para um semigrupo fundamental S, este número coincide com o menor inteiro não negativo n tal que S pode ser mergulhado no monóide PT n, o nosso resultado generaliza o de Easdown mencionado. Embora independente, o nosso método tem, sem dúvida, fortes conexões com as ideias originais de Easdown. Assim, em primeiro lugar construímos uma extensão para block-groups da representação de Munn e, de seguida, obtemos um refinamento desta que provamos ser minimal. Ainda, como aplicação da nossa extensão da representação de Munn, mostramos as igualdades BG = EI°m Ecom = N°m Ecom, em que BG, EI, N e Ecom denotam respectivamente as pseudovariedades dos block-groups finitos, dos semigrupos finitos com um são idempotente, dos semigrupos nilpotentes e dos semigrupos cujos idempotentes comutam.