Cálculo mental com números racionais : um estudo com alunos do 6º ano de escolariedade

Tese de doutoramento, Educação (Didática da Matemática), Universidade de Lisboa, Instituto de Educação, 2016

Este estudo visa compreender as estratégias e erros que os alunos do 6.º ano evidenciam em tarefas de cálculo mental e como evoluem estas estratégias ao longo de uma experiência de ensino centrada em tarefas de cálculo mental com números racionais positivos envolvendo as quatro operações em contextos matemáticos e não matemáticos e na discussão das suas estratégias. O quadro concetual foca aspetos relacionados com o desenvolvimento de estratégias de cálculo mental dos alunos, nomeadamente o uso de factos numéricos, regras memorizadas, relações numéricas e das representações mentais (modelos mentais, imagens e representações proposicionais) subjacentes ao uso destes factos, regras e relações. O estudo segue uma metodologia de design research, no quadro do qual foi construída uma experiência de ensino realizada em dois ciclos de experimentação. A comunicação na sala de aula, nomeadamente as discussões coletivas, desempenha um papel essencial nas dinâmicas desenvolvidas no trabalho com cálculo mental. Participam neste estudo duas professoras, Margarida e Laura e um total de 39 alunos. A recolha de dados foi realizada com recurso a observação direta e participante da investigadora, gravações vídeo de episódios de aula e áudio das reuniões de preparação e reflexão pós-aula, recolha documental, notas de campo e entrevistas. Nas suas estratégias, os alunos recorrem maioritariamente a relações numéricas em todas as representações dos números racionais e ao uso de factos numéricos e regras memorizadas na representação fracionária numa fase inicial e pontualmente, ao longo da experiência, nas representações decimal e percentagem. Estas estratégias sugerem o recurso, por parte dos alunos, a representações proposicionais envolvendo relações numéricas, embora também se identifiquem modelos mentais e imagens. Modelos e imagens mentais parecem associar-se mais a estratégias de factos numéricos e regras memorizadas. Os erros dos alunos são essencialmente de origem concetual, embora se identifiquem erros percetuais e de procedimento. As estratégias dos alunos começam por ser mais focadas em factos e regras, na representação fracionária, para evoluir para estratégias de relações numéricas com as quatro operações dos números racionais, usando tanto a representação em fração como a decimal e a percentagem.

This study aims to understand grade 6 students’ strategies and errors in mental computation tasks, and how these strategies evolve during a teaching experiment focused on mental computation tasks with positive rational numbers involving the four operations and mathematical and non-mathematical contexts and the discussion of students’ strategies. The conceptual framework focuses on aspects related to the development of students’ mental computation strategies, mainly, the use of numerical facts, memorized rules, numerical relationships, and mental representations (mental models, images, and propositional representations) underlying the use of these facts, rules, and relationships. The study follows a design research approach, where a teaching experiment was built and carried out in two experimental cycles. The communication in the classroom, especially whole class discussions, plays an essential role in the development of the mental computation processes. The participants in this study were two teachers, Margarida and Laura and 39 students. Data was collected using direct observation, with the researcher acting as a participant observer, video and audio recordings of classroom episodes, audio recordings of preparatory meetings and afterclass reflections, document collection, field notes, and interviews. In their strategies, at the beginning of the teaching experiment, the students mainly use numerical relationships in all representations of rational numbers and numerical facts and memorized rules in fraction representation. Along the teaching experiment, strategies based on facts and rules promptly appear in decimal and percent representations. These strategies suggest the use of propositional representations in numerical relationships, but mental models and images can also be identified. Mental models and images appear to be more associated with strategies based on numerical facts and memorized rules. Students' errors are essentially conceptual, although perceptual and procedural errors can also be identified. Their strategies begin to be more focused on facts and rules, in fraction representation, and to evolve to strategies based on numerical relationships at the end of the experiment with the four operations of rational numbers, when using fractions, decimal and percent representation.