O wielomianach cyklotomicznych

Wydział Matematyki i Informatyki

W rozprawie doktorskiej zostały przedstawione wyniki autora dotyczące szacowania współczynników wielomianów cyklotomicznych.Udowodniono między innymi, że n-ty wielomian cyklotomiczny rzędu 2 posiada więcej niż n^{½} niezerowych współczynników, oraz że wykładnik ½ nie może być zastąpiony przez większą liczbę.Dla wielomianów cyklotomicznych rzędu 3 podano nowe szacowania największego (co do bezwzględnej wartości) współczynnika, liczby niezerowych współczynników oraz sumy modułów współczynników. Ponadto wykazano, że kolejne współczynniki takiego wielomianu różnią się nie więcej niż o 1 i dla danego wielomianu wyznaczono liczbę par kolejnych współczynników, których różnica jest równa 1.Uzyskano także nowe szacowanie współczynników wielomianów cyklotomicznych dowolnego rzędu oraz udowodniono, że w nieznacznie szerszej klasie wielomianów włączania-wyłączania jest ono optymalne.

In the PhD thesis we present our results on the coefficients of cyclotomic polynomials.We prove that the n-th binary cyclotomic polynomial has at least n^{½} nonzero coefficients and that the exponent ½ cannot be replaced by a smaller number.We derive new bounds on the size of coefficients, the sum of absolute values of coefficients and the number of nonzero coefficients of a ternary cyclotomic polynomial. Moreover we prove that consecutive coefficients of such a polynomial differ by at most 1 and for given polynomial determine the number of pairs of consecutive coefficients which differ by 1.Additionally we derive a new bound on the size of coefficients of cyclotomic polynomial of any order and prove that this bound is optimal in a slightly larger class of inclusion-exclusion polynomials.