Twierdzenia o punktach stałych pewnych klas operatorów nieliniowych wraz z ich zastosowaniami

Wydział Matematyki i Informatyki

Celem rozprawy jest udowodnienie pewnych twierdzeń o punktach stałych dla wybranych operatorów nieliniowych. Wśród uzyskanych wyników należy wymienić: twierdzenia dla odwzorowań słabo F-kontrakcyjnych oraz silnie F-rozszerzających, twierdzenie typu Möncha, twierdzenia typu Leggetta-Williamsa dla odwzorowań dodatnich określonych w częściowo uporządkowanych przestrzeniach Banacha, a także twierdzenia typu Lovelady'ego dla odwzorowań powstających jako złożenie odwzorowania lipschitzowskiego z odwzorowaniem wyższego rzędu. Odwzorowania wyższego rzędu stanowią temat oddzielnego rozdziału pracy. Omówiono w nim ogólne własności takich odwzorowań, jak również szczegółowo przebadano operatory superpozycji oraz nieliniowe operatory całkowe Hammersteina określone w przestrzeniach funkcji o ograniczonej wariacji oraz w przestrzeniach funkcji prawie okresowych. W rozprawie prezentujemy także zastosowania udowodnionych wyników, w tym również nowych wyników dotyczących pewnych klas funkcji prawie okresowych, do teorii równań całkowych oraz różniczkowych, głównie w przestrzeni funkcji o ograniczonej φ-wariacji oraz w przestrzeniach funkcji prawie okresowych. Rozważamy zagadnienia istnienia oraz jedyności rozwiązania m.in. dla uogólnionego równania Fredholma, mieszanego równania Volterry-Fredholma i nieliniowego równania całkowego Hammersteina z oraz bez zaburzenia.

The main goal of the PhD thesis is to prove certain fixed point theorems for nonlinear operators; among the discussed results are: theorems for weakly F-contractive and strongly F-expansive mappings, a Mönch type theorem, Leggett-Williams type theorems for positive mappings acting in partially ordered Banach spaces as well as Lovelady type theorems for mappings which can be represented as a superposition of a Lipschitzian mapping and a mapping of higher order. A chapter of the thesis is devoted to the detailed study of mappings of higher order. General properties of such mappings as well as some results concerning superpostion operators and nonlinear Hammerstein integral operators acting in the spaces of functions of bounded variation and in the spaces of almost periodic functions of various kinds are established. Some new applications of the obtained results (including the new results concerning certain classes of almost periodic functions) to the theory of nonlinear equations, mainly in the space of functions of bounded φ-variation and in the spaces of almost periodic functions, are indicated. The existence and uniqueness of solutions to generalized Fredholm integral equations, mixed Volterra-Fredholm equations as well as Hammerstein nonlinear integral equations with and without perturbation is discussed.