二维无关联振子系统的量子化及能谱中长程关联的理论分析

量子经典对应是人们一直关心的基本问题．早期的WKB量子论及其推广EBK理论分别给出了一维及多维可积系统周期轨道的作用量量子化条件，但是，这些理论都没有明确的给出周期轨道与量子能级之间的对应关系．另一方面，近年来，人们在数值计算中发现量子能谱中存在着与周期轨道有紧密联系的长程关联，但是目前对长程关联的研究大多局限于数值计算，其背后的动力学原因有待进一步的探讨。应用二维无关联振子系统具有的标度不变性，对量子态密度进行Fourier变换，得到二维无关联振子系统的回归函数．另一方面，在有理环面上积分Hamiltonian运动方程，数值计算给出二维无关联四次振子系统的半经典回归谱。对二维无关联四次振子系统的量子回归谱和经典回归谱进行比较，量子和经典回归谱中的峰(显示了能级之间存在着长程关联)的位置大致一定验证了Berry-Tabor求迹公式的有效性。从可积系统的Be：rry-Tabor公式出发，导出了二维可积系统周期轨道作用量量子化条件，考虑有理环面上周期轨道必须满足的周期性条件，找到了量子能级与经典周期轨道之间的对应关系．这一对应关系表明，二维无关联振子系统的一组能级与一组周期轨道之间存在着一一对应关系。这组能级对应的周期轨道具有相同的拓扑，但每条周期轨道对应的系统能量等于它所对应的量子能级。进一步的，我们用二维无关联振子系统的量子经典对应关系去分析量子能谱中的长程关联。分析表明，当二维无关联振子系统回归函数中的作用量取某一系统能量下某一周期轨道的作用量的值时，那些与这一周期轨道拓扑相同的周期轨道对应的量子能级对回归函数的贡献相干。这些具有相同拓扑的周期轨道对应的量子能级间存在着长程关联。