布尔函数的非线性度量及其构造

布尔函数或者向量布尔函数是很多序列密码和分组密码的核心构件之一，因此这些函数密码学性质的好坏直接关系到密码系统的安全性和稳定性，所以构造密码学性质好的布尔函数或者分析布尔函数的密码学性质是一个十分有意义的研究工作。本文对有关问题进行了深入研究并得到一些有意义的结果。本文的主要结果有： (1) 对低差分均匀性函数的研究。由于完全非线性函数在几何、编码理论、密码学和设计中都有很多重要的应用，但是对完全非线性函数的性质研究比较少，因此本文研究了完全非线性函数的一些性质，得到了完全非线性函数的几个充要条件；几乎完全非线性函数抗击差分攻击是最优的，但是有几类已知的几乎完全非线性函数抗击线性攻击的能力还不知道，因此本文研究了三类几乎完全非线性函数抗击线性攻击的能力，即研究了三类几乎完全非线性函数非线性度的下界；本文还构造了差分均匀性为4的函数，这些函数由于其差分均匀性较低，同样能够较好的抗击差分攻击。 (2) 对布尔函数高阶非线性度的研究。非线性度是衡量布尔函数抗击线性攻击的能力，相对应的高阶非线性度是衡量布尔函数抗击高阶线性攻击的能力。在现有文献中研究布尔函数高阶非线性度的文献很少，因此本文研究了四类具有较高非线性度的布尔函数的二阶非线性度下界，这些下界刻画了这四类布尔函数抗击二阶线性攻击的能力。 (3)对单项式bent函数和半-bent函数的研究。单项式bent函数在bent函数的研究中有重要的意义，但是现在知道的单项式bent函数并不多，本文在已有的单项式bent函数的基础上构造了一类新的单项式bent函数；bent函数虽然有最优的非线性度，但是由于bent函数不具有平衡性，因此bent函数并不能直接用到密码系统中，于是本文构造了几类非线性度较高并且可以使其平衡的半-bent函数。同时本文还给出了一种由已有的半-bent函数或者已有的bent函数构造新的半-bent函数的方法，这种方法的优点是不增加新函数变元的个数。