垂直激励圆柱形容器中的非线性表面波及其不稳定性研究

本文分别在理想流体和弱粘性流体中，利用奇异摄动理论的两时间变量展开法，研究了垂直强迫激励圆柱形容器中的单一表面驻波模式的形成、结构特，点及其随时间的演化规律。首先假设流体是无粘、不可压且运动是无旋的，在忽略了表面张力的影响下，得到了描述表面波运动的非线性振幅方程及二阶自由面位移的解析表达式。通过数值计算，在不同驱动频率下，从理论上得到了非常丰富且只有少数在鄂学全等（19％，1998）的实验中报道过的表面波流谱模式。尽管所建立的数学模型和鄂学全等（19％。1998）的实验显示有所差别，但计算的结果可以用来解释他们实验中所观察到的表面波模态。进而研究了特定模式的空间结构（如节点的个数及分布规律）及其随时间三维演化规律，从理论上验证了此类表面波具有驻波的特点，丰富了前人的研究成果。液体表面张力的影响在所研究问题的尺度（如容器的半径为几个厘米，驱动的振幅只有微米量级）范围内对表面波的模式选择也不可忽视。故本文通过边界条件引入了表面张力的影响，研究了表面波模式的性质，并和无表面张力时的情况进行了比较。结果表明，当外激励频率较小时，表面张力对表面波模式选择的影响较小；但当驱动频率较大时，表面张力对表面波的模式选择影响很大，反映出表面张力具有使得自由面回到平衡位置的作用，更加逼近问题的真实情况。由于实际的物理系统中会产生阻尼，而阻尼系数的确定对研究表面波的模式特点及其发展规律有非常重要的意义。本文在弱粘性流体中，把Navier-Stokes方程线性化，研究了圆柱形容器受垂直强迫激励的表面驻波运动。将整个流场分为外部势流区和内部的边界层流动，求得了粘性阻尼系数的解析表达式，并研究了阻尼系数随某些参数，如粘度、驱动振幅、液体的深度等的变化规律。将在弱粘性流体情况下得到的粘性阻尼系数加到无粘流体中所得的色散关系和非线性振幅方程中对其进行修正，修正的结果使得所研究的问题更进一步接近实验的真实情况。粘性阻尼和表面张力二者对模式选择的影响中，当波数较小，即表面波的模式较简单时，粘性阻尼的影响起主要作用；相反，当波数较大，即表面波的模式较复杂时，表面张力的影响起主要作用。最后将阻尼项加到理想流体中得到的非线性振幅方程中，对其进行修正。对新的修正方程进行了稳定性分析。结合相平面特点研究了解的性质，得到形成稳定表面波模式的必要条件，给出了不稳定区域。。研究结果表明对已形成的稳态模式来说，它对小的扰动是不会失稳的。