Global, Local and Vector-Valued Tb Theorems on Non-Homogeneous Metric Spaces

Various Tb theorems play a key role in the modern harmonic analysis. They provide characterizations for the boundedness of Calderón-Zygmund type singular integral operators. The general philosophy is that to conclude the boundedness of an operator T on some function space, one needs only to test it on some suitable function b. The main object of this dissertation is to prove very general Tb theorems. The dissertation consists of four research articles and an introductory part. The framework is general with respect to the domain (a metric space), the measure (an upper doubling measure) and the range (a UMD Banach space). Moreover, the used testing conditions are weak. In the first article a (global) Tb theorem on non-homogeneous metric spaces is proved. One of the main technical components is the construction of a randomization procedure for the metric dyadic cubes. The difficulty lies in the fact that metric spaces do not, in general, have a translation group. Also, the measures considered are more general than in the existing literature. This generality is genuinely important for some applications, including the result of Volberg and Wick concerning the characterization of measures for which the analytic Besov-Sobolev space embeds continuously into the space of square integrable functions. In the second article a vector-valued extension of the main result of the first article is considered. This theorem is a new contribution to the vector-valued literature, since previously such general domains and measures were not allowed. The third article deals with local Tb theorems both in the homogeneous and non-homogeneous situations. A modified version of the general non-homogeneous proof technique of Nazarov, Treil and Volberg is extended to cover the case of upper doubling measures. This technique is also used in the homogeneous setting to prove local Tb theorems with weak testing conditions introduced by Auscher, Hofmann, Muscalu, Tao and Thiele. This gives a completely new and direct proof of such results utilizing the full force of non-homogeneous analysis. The final article has to do with sharp weighted theory for maximal truncations of Calderón-Zygmund operators. This includes a reduction to certain Sawyer-type testing conditions, which are in the spirit of Tb theorems and thus of the dissertation. The article extends the sharp bounds previously known only for untruncated operators, and also proves sharp weak type results, which are new even for untruncated operators. New techniques are introduced to overcome the difficulties introduced by the non-linearity of maximal truncations.

Väitöskirja kuuluu matemaattisen analyysin osa-alueen harmonisen analyysin piiriin. Pääasiallinen tutkimuskohde koostuu singulaarisista integraalioperaattoreista eli Calderón-Zygmund-operaattoreista. Erilaiset Tb-lauseet karakterisoivat näiden operaattorien rajoittuneisuuden tietyissä funktioavaruuksissa. Filosofiana on se, että rajoittuneisuuden takaamiseksi riittää tutkia operaattorin käyttäytymistä vain jollain yhdellä sopivalla funktiolla b. Väitöskirjassa, joka koostuu neljästä tieteellisestä artikkelista ja johdannosta, todistetaan hyvin yleisiä Tb-lauseita. Yleisyys liittyy muun muassa funktioiden määrittelyalueeseen (metrinen avaruus), sallittuihin mittoihin (mahdollisesti erittäin epähomogeeninen ylätuplaava mitta) ja maaliavaruuteen (Banach-avaruus, jolla on UMD-ominaisuus). Ensimmäisessä artikkelissa todistetaan epähomogeeninen Tb-lause metrisissä avaruuksissa. Yksi tärkeimmistä uusista teknisistä komponenteista on metristen avaruuksien dyadisten kuutioiden satunnaistaminen. Kuutioiden siirtäminen ei ole yleisesti mahdollista metrisissä avaruuksissa, joten artikkelissa kehitetään uusi Euklidisesta teoriasta poikkeava metodi. Artikkelin tulos antaa myös uuden todistuksen Volbergin ja Wickin lauseelle koskien mittojen, joilla analyyttinen Besov-Sobolev-avaruus voidaan jatkuvasti upottaa neliöintegroituvien funktioiden avaruuteen, karakterisointia. Toisessa artikkelissa yleistetään ensimmäisen artikkelin tulokset koskemaan vektoriarvoista tilannetta. Epähomogeeninen metrinen teoria on uusi lisäys vektoriarvoiseen teoriaan. Kolmannessa artikkelissa tutkitaan lokaaleita Tb-lauseita. Artikkelissa muunnetaan Nazarovin, Treilin ja Volbergin epähomogeenisia tekniikoita, ja ne yleistetään koskemaan ylätuplaavia mittoja. Tätä tekniikkaa sovelletaan tuplaavien mittojen teoriaan. Näin saadaan täysin uusi ja suora todistus lokaaleille Tb-lauseille varsin heikoilla testausehdoilla. Tällaiset testausehdot ovat alun perin peräisin Auscherilta, Hofmannilta, Muscalulta, Taolta ja Thieleltä. Viimeisessä artikkelissa todistetaan tarkkoja painotettuja arvioita singulaaristen integraalien maksimaalisille katkaisuille. Tuloksiin kuuluu uusi tarkka heikon tyypin arvio ja toisaalta tunnettujen rajojen yleistäminen koskemaan myös maksimaalisia katkaisuja. Näiden operaattorien epälineaarisuus vaatii uusien tekniikoiden käyttämistä.