Geometric Characterizations for Patterson-Sullivan Measures of Geometrically Finite Kleinian Groups

The main results of this thesis show that a Patterson-Sullivan measure of a non-elementary geometrically finite Kleinian group can always be characterized using geometric covering and packing constructions. This means that if the standard covering and packing constructions are modified in a suitable way, one can use either one of them to construct a geometric measure which is identical to the Patterson-Sullivan measure. The main results generalize and modify results of D. Sullivan which show that one can sometimes use the standard covering construction to construct a suitable geometric measure and sometimes the standard packing construction. Sullivan has shown also that neither or both of the standard constructions can be used to construct the geometric measure in some situations. The main modifications of the standard constructions are based on certain geometric properties of limit sets of Kleinian groups studied first by P. Tukia. These geometric properties describe how closely the limit set of a given Kleinian group resembles euclidean planes or spheres of varying dimension on small scales. The main idea is to express these geometric properties in a quantitative form which can be incorporated into the gauge functions used in the modified covering and packing constructions. Certain estimation results for general conformal measures of Kleinian groups play a crucial role in the proofs of the main results. These estimation results are generalizations and modifications of similar results considered, among others, by B. Stratmann, D. Sullivan, P. Tukia and S. Velani. The modified constructions are in general defined without reference to Kleinian groups, so they or their variants may prove useful in some other contexts in addition to that of Kleinian groups.

On olemassa niin sanottuja epäelementaarisia geometrisesti äärellisiä Kleinin ryhmiä ja jokaiseen tällaiseen ryhmään liittyy rajapisteistöksi kutsuttu pistejoukko. Pattersonin-Sullivanin mitat ovat matemaattisia olioita, joita käytetään mittaamaan näiden rajapisteistöjen kokoa luonnollisella tavalla. Tämän väitöskirjatyön tarkoituksena oli löytää geometrinen karakterisaatio mielivaltaisen epäelementaarisen geometrisesti äärellisen Kleinin ryhmän mielivaltaiselle Pattersonin-Sullivanin mitalle. Tällaisen geometrisen karakterisaation löytäminen on helppoa tilanteessa, jossa rajapisteistö on geometrisesti yksinkertainen, esimerkiksi suora tai taso. Tyypillisessä tapauksessa rajapisteistön geometrinen luonne on kuitenkin paljon monimutkaisempi ja sen vuoksi geometrisen karakterisaation löytäminen on paljon vaikeampaa. D. Sullivan onnistui löytämään ratkaisun, joka toimii useassa tapauksessa, mutta hän osoitti myös, että hänen menetelmänsä ei toimi kaikissa mahdollisissa tapauksissa. Tässä työssä näytetään, että jos Sullivanin perusratkaisua muunnetaan sopivalla tavalla, kaikki mahdolliset tapaukset saadaan katettua. Muunnettu ratkaisu perustuu siihen, että geometrista karakterisaatiota muodostettaessa erityistä huomiota kiinnitetään rajapisteistön pienen mittakaavan geometriaan. Työssä kehitetty muunnettu ratkaisumenetelmä on luonteeltaan varsin yleinen ja siksi on hyvinkin mahdollista, että sitä voidaan käyttää myös Kleinin ryhmien teorian ulkopuolella.