Properties of Toeplitz operators on analytic function spaces : from function symbols to distributions

Toeplitz operators are among the most important classes of concrete operators with applications to several branches of pure and applied mathematics. This doctoral thesis deals with Toeplitz operators on analytic Bergman, Bloch and Fock spaces. Usually, a Toeplitz operator is a composition of multiplication by a function and a suitable projection. The present work deals with generalizing the notion to the case where the function is replaced by a distributional symbol. Fredholm theory for Toeplitz operators with matrix-valued symbols is also considered. The subject of this thesis belongs to the areas of complex analysis, functional analysis and operator theory. This work contains five research articles. The articles one, three and four deal with finding suitable distributional classes in Bergman, Fock and Bloch spaces, respectively. In each case the symbol class to be considered turns out to be a certain weighted Sobolev-type space of distributions. The Bergman space setting is the most straightforward. When dealing with Fock spaces, some difficulties arise due to unboundedness of the complex plane and the properties of the Gaussian measure in the definition. In the Bloch-type spaces an additional logarithmic weight must be introduced. Sufficient conditions for boundedness and compactness are derived. The article two contains a portion showing that under additional assumptions, the condition for Bergman spaces is also necessary. The fifth article deals with Fredholm theory for Toeplitz operators having matrix-valued symbols. The essential spectra and index theorems are obtained with the help of Hardy space factorization and the Berezin transform, for instance. The article two also has a part dealing with matrix-valued symbols in a non-reflexive Bergman space, in which case a condition on the oscillation of the symbol (a logarithmic VMO-condition) must be added.

Toeplitz-operaattorit ovat eräitä tärkeimmistä konkreettisista operaattoreista, joilla on sovelluksia useilla matematiikan aloilla. Tässä väitöskirjassa tarkastellaan Toeplitz-operaattoreita analyyttisissä Bergman-, Bloch- ja Fock-avaruuksissa. Tyypillisesti, Toeplitz-operaattori muodostetaan kertomalla ensin funktiolla, ja sitten käyttämällä sopivaa projektiota. Tässä työssä tarkastellaan tapausta, jossa edellämainittu funktio korvataan distribuutiolla. Tarkastelemme myös Fredholm-teoriaa matriisi-arvoisille symboleille. Väitöskirjan aihepiiri kuuluu kompleksianalyysin, funktionaalianalyysin ja operaattoriteorian välimaastoon. Työ sisältää viisi tutkimusartikkelia. Artikkeleissa yksi, kolme ja neljä keskitytään sopivien distribuutioluokkien löytämiseen Bergman-, Fock- ja Bloch-avaruuksissa. Hyviksi symboliluokiksi osoittautuvat eräänlaiset painotetut, distributionaaliset Sobolev-avaruudet. Tilanne on yksinkertaisin Bergmanin avaruuksien tapauksessa. Fock-avaruuksissa ongelmia tuottaa se ettei kompleksitaso ole rajoitettu joukko, jonka lisäksi avaruuden määrittelevä Gaussinen mitta on otettava huomioon. Bloch-avaruuksissa taas on lisättävä tarkasteluun logaritminen painofunktio. Todistamme riittävät ehdot jatkuvuudelle ja kompaktisuudelle näissä tapauksissa. Artikkelissa kaksi on osa, jossa osoitetaan ehdon välttämättömyys Bergmanin avaruuksissa, kun symbolille asetetaan tiettyjä lisäehtoja. Viides artikkeli keskittyy matriisisymbolien generoimien Toeplitz-operaattoreiden Fredholm-teoriaan. Todistamme indeksilauseen ja kuvailemme essentiaalispektrin käyttämällä esimerkiksi Hardy-avaruuksien faktorisaatiota sekä Berezin-muunnoksen ominaisuuksia. Artikkelissa kaksi tarkastellaan myös matriisiarvoisia symboleita epärefleksiivisessä Bergmanin avaruudessa. Tässä tapauksessa on luonnollista lisätä ylimääräinen oletus (logaritminen VMO-ehto) funktion heilahtelusta.