Cliffordin analyysi ja sovelluksia

Cliffordin algebrat ovat äärellisulotteisia reaali- tai kompleksikertoimisia algebroja, jotka yleistävät kvaterneja ja kompleksilukuja. Näitä algebroja on kutsuttu myös geometrisiksi algebroiksi. Tässä tutkielmassa tarkastellaan analyysiä Cliffordin algebroilla ja sen sovelluksia. Analyysi tässä tarkoittaa sitä, että tarkastellaan Cliffordin algebraarvoisia funktioita, jotka omaavat erikseen määriteltyjä sileysominaisuuksia. Sovelluskohteina ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöt ja reuna-arvo-ongelmat. Menetelmät ovat klassisia kompleksianalyysin menetelmiä. Tutkielmassa esitellään Cliffordin algebrat yleisille neliömuodollisille avaruuksille. Keskeisiä algebrallisia ominaisuuksia ovat Frobeniuksen teoreema ja perusoperaatiot. On yleisesti tunnettua, että kvaterneilla voidaan esittää kolmiulotteisen ja neljäulotteisen avaruuden rotaatiot. Tutkielmassa esitellään, miten Cliffordin ryhmiä, jotka ovat Cliffordin algebrojen osajoukkoja, käytetään useamman ulottuvuuden rotaatioiden esityksessä. Toinen sovelluskohde on Möbius-kuvausten esittäminen Vahlenin matriiseilla. Tutkielman toisessa osiossa määritellään monogeeniset funktiot erään Diracin operaattorin nollaratkaisuina. Monogeenisten funktioiden pääominaisuus on Cauchyn integraalikaava. Välittömiä seurauksia ovat esimerkiksi potenssisarjakehitelmät, analyyttisuus, Liuvillen teoreema ja muut klassisen kompleksianalyysin tuloksien yleistykset. Toisaalta monet kompleksianalyysin tulokset eivät yleisty. Esimerkiksi monogeenisten funktioiden tulo ei ole yleisesti ottaen monogeeninen. Potenssisarjat voidaan esittää monogeenisten polynomeiden avulla. Esitämme kannan monogeenisten polynomien avaruudelle käyttäen CK-laajennusta. Cauchyn ytimen ominaisuuksien avulla tarkastelemme Diracin operaattorin reuna-arvo-ongelmia ja nk. D-ongelmaa. Käyttäen Rungen lauseen yleistystä osoitamme D-ongelman yleisen ratkaistavuuden. Toisaalta reuna-arvo-ongelman ratkaistavuus karakterisoidaan käyttäen Cauchyn ytimen reuna-arvo-ominaisuuksia ja hyppyrelaatioita. Keskeinen sovellus tuloksille on aikaharmonisen Maxwellin yhtälön reuna-arvo-ongelmien tarkastelu. Mielenkiintoista on myös, miten Diracin operaattori linearisoi Laplacen operaattorin ja aalto-operaattorin. Toisaalta Diracin operaattorin avulla voidaan ilmaista Maxwellin yhtälöt tiiviissä muodossa. Muita tuloksia tutkielmassa ovat meromorfifunktioiden määritelmä ja Mittag-Lefflerin lause. Tutkielman lopuksi tarkastellaan lyhyesti harmonisten funktioiden ja monogeenisten funktioiden suhdetta. Jokainen harmoninen funktio on jonkin monogeenisen funktion reaaliosa. Tosin monogeeninen funktio ei ole yksikäsitteisesti määrätty sen reaaliosan avulla.