Tannakian Formalism Applied to the Category of Mixed Hodge Structures

Many problems in analysis have been solved using the theory of Hodge structures. P. Deligne started to treat these structures in a categorical way. Following him, we introduce the categories of mixed real and complex Hodge structures. Category of mixed Hodge structures over the field of real or complex numbers is a rigid abelian tensor category, and in fact, a neutral Tannakian category. Therefore it is equivalent to the category of representations of an affine group scheme. The direct sums of pure Hodge structures of different weights over real or complex numbers can be realized as a representation of the torus group, whose complex points is the Cartesian product of two punctured complex planes. Mixed Hodge structures turn out to consist of information of a direct sum of pure Hodge structures of different weights and a nilpotent automorphism. Therefore mixed Hodge structures correspond to the representations of certain semidirect product of a nilpotent group and the torus group acting on it.

Monia matemaattisen analyysin ongelmia on ratkaistu Hodge-struktuureja käyttämällä. P. Deligne aloitti Hodge-struktuurien käsittelyn kategoriateorian keinoin. Hänen jalanjäljissään esitellään sekoitettujen reaalisten tai kompleksisten Hodge-struktuurien kategoria. Sekoitettujen Hodge-struktuurien kategoria reaali- tai kompleksilukujen kunnan suhteen on tiukka Abelin kategoria ja itse asiassa neutraali Tannakan kategoria. Siten se on ekvivalentti erään affiinin ryhmäskeeman esitysten kategorian kanssa. Eri painoisten puhtaiden reaalisten tai kompleksisten Hodge-struktuurien suora summa voidaan ymmärtää torusryhmän esityksenä. Torusryhmän kompleksiset pisteet voidaan esittää kahden rei'itetyn kompleksitason karteesisena tulona. Ilmenee, että sekoitetut Hodge-struktuurit sisältävät tiedon eri painoisten puhtaiden Hodge-struktuurien suorasta summasta ja nilpotentista automofismista. Sen tähden sekoitetut Hodge-struktuurit vastaavat esityksiä ryhmästä, joka on puolisuora tulo eräästä nilpotentista ryhmästä ja toruksesta, joka toimii kyseisessä nilpotentissa ryhmässä.