Passive vector turbulence

This thesis consists of three articles on passive vector fields in turbulence. The vector fields interact with a turbulent velocity field, which is described by the Kraichnan model. The effect of the Kraichnan model on the passive vectors is studied via an equation for the pair correlation function and its solutions. The first paper is concerned with the passive magnetohydrodynamic equations. Emphasis is placed on the so called "dynamo effect", which in the present context is understood as an unbounded growth of the pair correlation function. The exact analytical conditions for such growth are found in the cases of zero and infinite Prandtl numbers. The second paper contains an extensive study of a number of passive vector models. Emphasis is now on the properties of the (assumed) steady state, namely anomalous scaling, anisotropy and small and large scale behavior with different types of forcing or stirring. The third paper is in many ways a completion to the previous one in its study of the steady state existence problem. Conditions for the existence of the steady state are found in terms of the spatial roughness parameter of the turbulent velocity field.

Sanalla "turbulenssi" tarkoitetaan yleensä nopeasti muuttuvaa, kaoottista ja näennäisen sattumanvaraista nesteen tai kaasun virtausta. Matemaattisesti mainittuja virtauksia voidaan usein tutkia Navier-Stokesin yhtälöiden avulla, jotka kuvaavat sekä rauhallisia, laminaarisia virtauksia, että turbulenssia. Yhtälöitä on kuitenkin käytännössä katsoen lähes mahdoton ratkaista. Yksi tapa tutkia turbulenssiin liittyviä ilmiöitä on yksinkertaisesti olettaa turbulentin virtauksen käyttäytyminen tunnetuksi. Tällaisen "synteettisen" mallin seurauksia voidaan tutkia ns. passiivisten mallien avulla. Yksinkertaisimmat mallit näistä ovat esimerkiksi kevyen hiukkasen liike tai väriaineen käyttäytyminen virtauksessa. Tällaisilla menetelmillä saadaan yllättävän realistisia tuloksia kun vertailukohteena ovat numeeriset ja kokeelliset mittaukset. Väitöskirjassa tutkitaan turbulenssin eri ilmiöitä ja seurauksia ns. Kraichnanin synteettisen turbulenssimallin kautta. Kyseessä olevilla malleilla kuvataan mm. magnetohydrodynaamista dynamo -efektiä, jossa magneettikenttä kasvaa rajoittamattomasti sähköä johtavan nesteen vaikutuksesta. Yksi tutkituista malleista on Navier-Stokesin yhtälöiden linearisoitu versio, joka kuvaa mm. virtauksen alttiutta ulkoisille häiriöille. Töissä johdetaan uusia tuloksia mm. koskien mallien tilastollista stabiilisuutta, skaalautuvuusominaisuuksia sekä kiertosymmetrioiden mahdollista rikkoutumista.