Finitary Abstract Elementary Classes

The research in model theory has extended from the study of elementary classes to non-elementary classes, i.e. to classes which are not completely axiomatizable in elementary logic. The main theme has been the attempt to generalize tools from elementary stability theory to cover more applications arising in other branches of mathematics. In this doctoral thesis we introduce finitary abstract elementary classes, a non-elementary framework of model theory. These classes are a special case of abstract elementary classes (AEC), introduced by Saharon Shelah in the 1980's. We have collected a set of properties for classes of structures, which enable us to develop a 'geometric' approach to stability theory, including an independence calculus, in a very general framework. The thesis studies AEC's with amalgamation, joint embedding, arbitrarily large models, countable Löwenheim-Skolem number and finite character. The novel idea is the property of finite character, which enables the use of a notion of a weak type instead of the usual Galois type. Notions of simplicity, superstability, Lascar strong type, primary model and U-rank are inroduced for finitary classes. A categoricity transfer result is proved for simple, tame finitary classes: categoricity in any uncountable cardinal transfers upwards and to all cardinals above the Hanf number. Unlike the previous categoricity transfer results of equal generality the theorem does not assume the categoricity cardinal being a successor. The thesis consists of three independent papers. All three papers are joint work with Tapani Hyttinen.

Matemaattinen struktuuri eli malli on joukko, johon on määritelty rakenne nimeämällä vakioita, relaatioita ja funktioita. Esimerkkejä matemaattisten struktuurien luokista ovat ryhmät neutraalialkiolla 0 ja yhteenlaskufunktiolla + tai lineaarijärjestykset järjestysrelaatiolla <. Malliteoria on matemaattisen logiikan osa-alue, joka tutkii ja luokittelee matemaattisia struktuureja. Malliteorian tutkimus on usein tasapainoilua yleisyyden ja yksityiskohtaisuuden välillä. Päämääränä on kehittää mahdollisimman yleisiä tuloksia, jotka kattaisivat monia eri yksittäisiä struktuurien luokkia. Yleensä rajatummilla oletuksilla on kuitenkin käytettävissä enemmän konkreettisia työkaluja. Voi olla hyvin vaikeaa, tai jopa mahdotonta, saada haluttuja tuloksia todistettua ilman näitä työkaluja. Klassinen malliteoria tutkii niin kutsuttuja elementaarisia malliluokkia, jollaisen muodostavat kaikki yhden elementaarilogiikan teorian mallit. Elementaarilogiikan ilmaisuvoimassa on kuitenkin rajoitteita, ja monet mielenkiintoiset malliluokat jäävät tutkimuksen ulkopuolelle. Saharon Shelah ehdotti 1980-luvulla abstrakteja elementaariluokkia malliteorian yleistämisen pohjaksi. Näille luokille ei määritellä aksioomia millään yksittäisellä formaalilla kielellä, vaan keskitytään tutkimaan mallien välisiä suhteita, erityisesti niin kutsutun elementaarisen alimallin käsitettä. Tämä lähestymistapa on kuitenkin niin yleinen, että siihen on ollut vaikea soveltaa monia malliteorian työkaluja. Tästä johtuen luokittelutehtävässä on saavutettu vain vähän menestystä. Väitöskirjatyössä kehitetään uusi lähestymistapa struktuurien tutkimiseen elementaarilogiikkaa yleisemmässä kehyksessä. Tämä määritelmä tarkentaa abstrakteja elementaariluokkia asettamalla lisävaatimuksia elementaarisen alimallin käsitteelle. Erityisesti vaaditaan, että mallien väliset riipuvuudet perustuvat vain äärellisten osien välisiin riippuvuuksiin, mistä tulee nimi äärellisesti sidotut luokat. Lähestymistapa on edelleen hyvin yleinen, mutta työssä on silti onnistuttu soveltamaan monia klassisen malliteoria työkaluja. Työ on keskittynyt erityisesti riippumattomuuskalkyylin kehittämiseen ja sisältää myös kategorisuuden siirtymistuloksen. Työ koostuu johdannosta ja kolmesta artikkelista. Artikkelit ovat yhteisjulkaisuja väitöskirjatyön ohjaajan dosentti Tapani Hyttisen kanssa.