Distortion of Dimension under Quasiconformal Mappings

Quasiconformal mappings are natural generalizations of conformal mappings. They are homeomorphisms with 'bounded distortion' of which there exist several approaches. In this work we study dimension distortion properties of quasiconformal mappings both in the plane and in higher dimensional Euclidean setting. The thesis consists of a summary and three research articles. A basic property of quasiconformal mappings is the local Hölder continuity. It has long been conjectured that this regularity holds at the Sobolev level (Gehring's higher integrabilty conjecture). Optimal regularity would also provide sharp bounds for the distortion of Hausdorff dimension. The higher integrability conjecture was solved in the plane by Astala in 1994 and it is still open in higher dimensions. Thus in the plane we have a precise description how Hausdorff dimension changes under quasiconformal deformations for general sets. The first two articles contribute to two remaining issues in the planar theory. The first one concerns distortion of more special sets, for rectifiable sets we expect improved bounds to hold. The second issue consists of understanding distortion of dimension on a finer level, namely on the level of Hausdorff measures. In the third article we study flatness properties of quasiconformal images of spheres in a quantitative way. These also lead to nontrivial bounds for their Hausdorff dimension even in the n-dimensional case.

Kvasikonformikuvaukset ovat konformikuvausten yleistyksiä, homeomorfismeja joiden distortio on rajoitettu. Nämä kuvaukset muodostavat joustavan bilipschitz-kuvausten ja yleisten homeomorfismien väliin sijoittuvan kuvausluokan, jolla on useita merkittäviä geometrisiä ja analyyttisiä ominaisuuksia. Tässä työssä tutkitaan kvasikonformikuvausten dimensiodistortiota. Pisteittäiset distortiota koskevat perustulokset todistettiin jo alan kehityksen alkuvaiheissa. Dimension muuntuminen kvasikonformikuvauksissa tarjoaa haasteellisemman aihepiirin. Yleisten joukkojen tapauksessa täydellinen ratkaisu tunnetaan vain tasossa (Astala, 1994). Tällaiset metriset distortiotulokset ovat myös läheisessä yhteydessä kvasikonformuvausten derivaatan korkeampaan integroituvuuteen (Gehring, 1973). Tässä työssä tutkitaan eräitä dimension muuntumiseen liittyviä ongelmia kvasikonformikuvauksilla sekä euklidessa tasossa että n-avaruudessa. Erityistä huomiota kohdistetaan kvasiympyröitten ja kvasipallojen dimensioon, jotka ovat ympyröiden ja pallojen kuvajoukkoja kvasikonformikuvauksissa.