Integral Transformations of Volterra Gaussian Processes

We study integral representations of Gaussian processes with a pre-specified law in terms of other Gaussian processes. The dissertation consists of an introduction and of four research articles. In the introduction, we provide an overview about Volterra Gaussian processes in general, and fractional Brownian motion in particular. In the first article, we derive a finite interval integral transformation, which changes fractional Brownian motion with a given Hurst index into fractional Brownian motion with an other Hurst index. Based on this transformation, we construct a prelimit which formally converges to an analogous, infinite interval integral transformation. In the second article, we prove this convergence rigorously and show that the infinite interval transformation is a direct consequence of the finite interval transformation. In the third article, we consider general Volterra Gaussian processes. We derive measure-preserving transformations of these processes and their inherently related bridges. Also, as a related result, we obtain a Fourier-Laguerre series expansion for the first Wiener chaos of a Gaussian martingale. In the fourth article, we derive a class of ergodic transformations of self-similar Volterra Gaussian processes.

Ajasta riippuvia satunnaisilmiöitä kuvataan matematiikassa stokastisten prosessien avulla. Niin sanotut Gaussiset Volterra prosessit mallintavat moniin käytännön sovelluksiin liittyvää epävarmuutta ja muodostavat siksi tärkeän stokastisten prosessien luokan. Viime vuosina tämän tyyppisiä prosesseja on käytetty mm. finanssianalyysiin sekä langattomaan tiedonsiirtoon liittyvien ongelmien ratkaisuun. Työssäni esitellään uusia teoreettisia työkaluja Gaussisten Volterra prosessien käsittelyyn. Päätulokset koskevat esittelemiäni muunnoskaavoja, joilla luokan prosesseja voidaan esittää toistensa avulla niin, että tietyt tärkeät erikoisominaisuudet säilyvät muunnoksissa. Muunnokset tunnettuine ominaisuuksineen tarjoavat uusia tapoja esittää ja tarkastella hankalia sovelletun ja puhtaan matematiikan satunnaisilmiöin liittyviä ongelmia.