On Random Planar Curves and Their Scaling Limits

Planar curves arise naturally as interfaces between two regions of the plane. An important part of statistical physics is the study of lattice models. This thesis is about the interfaces of 2D lattice models. The scaling limit is an infinite system limit which is taken by letting the lattice mesh decrease to zero. At criticality, the scaling limit of an interface is one of the SLE curves (Schramm-Loewner evolution), introduced by Oded Schramm. This family of random curves is parametrized by a real variable, which determines the universality class of the model. The first and the second paper of this thesis study properties of SLEs. They contain two different methods to study the whole SLE curve, which is, in fact, the most interesting object from the statistical physics point of view. These methods are applied to study two symmetries of SLE: reversibility and duality. The first paper uses an algebraic method and a representation of the Virasoro algebra to find common martingales to different processes, and that way, to confirm the symmetries for polynomial expected values of natural SLE data. In the second paper, a recursion is obtained for the same kind of expected values. The recursion is based on stationarity of the law of the whole SLE curve under a SLE induced flow. The third paper deals with one of the most central questions of the field and provides a framework of estimates for describing 2D scaling limits by SLE curves. In particular, it is shown that a weak estimate on the probability of an annulus crossing implies that a random curve arising from a statistical physics model will have scaling limits and those will be well-described by Loewner evolutions with random driving forces.

Tämä väitöskirja käsittelee satunnaisia käyriä tasossa ja erityisesti käyriä, jotka ovat rajapintoja tilastollisen fysiikan hilamalleissa. Käyrien ja pintojen satunnaisgeometria on viime aikoina ollut erittäin suuren mielenkiinnon kohteena matemaattisessa tilastollisessa fysiikassa. Erittäin tärkeä osa tilastollista fysiikkaa ovat hilamallit. Tarkasteltaessa tällaista mallia voidaan määrittää rajapintoja, jotka erottavat kaksi faasia toisistaan. Esimerkiksi magneettista ainetta mallintaessa rajapinta erottaa kaksi aluetta toisistaan siten, että kummassakin alueessa alkeismagneetit ovat asettautuneet yhdensuuntaisiksi, mutta toisessa alueessa päinvastaiseen suuntaan kuin toisessa. Tason hilamalleissa rajapinnat ovat käyriä, eli siis oikeammin rajakäyriä, ja kolmiulotteisen avaruuden malleissa pintoja. Tavoitteena on tutkia käyrän tai käyräperheen luonnollista jatkumorajaa, jota kutsutaan skaalausrajaksi. Kun mallin parametrit on valittu juuri tietyllä tavalla, systeemi on ns. kriittinen. Tyypillistä kriittiselle systeemille on skaalainvarianssi. Rajakäyrä katsottuna eri skaaloista näyttää tilastollisesti samalta, eli se on satunnainen fraktaali. Varsin yleisesti kriittissä systeemeissä käyrän skaalausraja voi olla vain joku SLE-käyristä (engl. Schramm-Loewner evolution). Tämä Oded Schrammin määrittelemä perhe satunnaiskäyriä on johtanut merkittäviin edistymiseen ymmärryksessä kaksiulotteisista kriittisistä systeemeistä. Tämän väitöskirjan kaksi ensimmäistä artikkelia tarkastelevat SLE-käyrien ominaisuuksia ja erityisesti niiden symmetrioita, ja niissä molemmissa kehitetään uusi tapa laskea luonnolliseen SLE-dataan liittyviä suureita. Ensimmäinen menetelmä on algebrallisempi käyttäen Virasoro-algebran konkreettista esitystä ja mahdollistaa paremmin symmetrioiden havaitsemisen. Toinen menetelmä on mahdollistaa hieman paremmin suureiden laskemisen ja tarjoaa uuden tavan tarkastella koko SLE-käyrän jakaumaa stationaarisena jakaumana. Kolmannessa artikkelissa käsitellään alan yhtä keskeisimmistä tavoitteista. Lähtien yksinkertaisesta estimaatista todistetaan tarvittavat ominaisuudet hilamallin käyrälle siten, että skaalausraja on olemassa, ja että skaalausrajaa voidaan kuvata Loewnerin yhtälöllä.