Homoclinic Splitting without Trees

We study a Hamiltonian describing a pendulum coupled with several anisochronous oscillators, giving a simple construction of unstable KAM tori and their stable and unstable manifolds for analytic perturbations. When the coupling takes place through an even trigonometric polynomial in the angle variables, we extend analytically the solutions of the equations of motion, order by order in the perturbation parameter, to a large neighbourhood of the real line representing time. Subsequently, we devise an asymptotic expansion for the splitting (matrix) associated with a homoclinic point. This expansion consists of contributions that are manifestly exponentially small in the limit of vanishing gravity, by a shift-of-countour argument. Hence, we infer a similar upper bound for the splitting itself. In particular, the derivation of the result does not call for a tree expansion with explicit cancellation mechanisms.

Matemaattisen fysiikan alaan kuuluva väitöskirja käsittelee klassisessa mekaniikassa, Henri Poincarén ajoista tunnettua, homokliiniseksi leikkaukseksi kutsuttua ilmiötä. Homokliinisen leikkauksen olemassaolo synnyttää dynaamisessa systeemissä kaoottista käytöstä ja suuressakin mittakaavassa tapahtuvaa liikeratojen hajaantumista. Työssä on kehitetty uusi menetelmä, jota hyödyntäen on johdettu yläraja homokliinisen leikkauksen suuruudelle. Kyseessä on siis stabiilisuustulos, jolla on paitsi puhtaasti matemaattista mielenkiintoa myös mahdollisia sovellutuksia taivaanmekaniikassa ja säätöteoriassa.