Composition operators, Aleksandrov measures and value distribution of analytic maps in the unit disc

A composition operator is a linear operator that precomposes any given function with another function, which is held fixed and called the symbol of the composition operator. This dissertation studies such operators and questions related to their theory in the case when the functions to be composed are analytic in the unit disc of the complex plane. Thus the subject of the dissertation lies at the intersection of analytic function theory and operator theory. The work contains three research articles. The first article is concerned with the value distribution of analytic functions. In the literature there are two different conditions which characterize when a composition operator is compact on the Hardy spaces of the unit disc. One condition is in terms of the classical Nevanlinna counting function, defined inside the disc, and the other condition involves a family of certain measures called the Aleksandrov (or Clark) measures and supported on the boundary of the disc. The article explains the connection between these two approaches from a function-theoretic point of view. It is shown that the Aleksandrov measures can be interpreted as kinds of boundary limits of the Nevanlinna counting function as one approaches the boundary from within the disc. The other two articles investigate the compactness properties of the difference of two composition operators, which is beneficial for understanding the structure of the set of all composition operators. The second article considers this question on the Hardy and related spaces of the disc, and employs Aleksandrov measures as its main tool. The results obtained generalize those existing for the case of a single composition operator. However, there are some peculiarities which do not occur in the theory of a single operator. The third article studies the compactness of the difference operator on the Bloch and Lipschitz spaces, improving and extending results given in the previous literature. Moreover, in this connection one obtains a general result which characterizes the compactness and weak compactness of the difference of two weighted composition operators on certain weighted Hardy-type spaces.

Kompositio-operaattoriksi kutsutaan toimitusta, jossa mihin tahansa annettuun funktioon yhdistetään sisältäpäin toinen, kiinteänä pidettävä funktio eli ns. symboli. Työssä tutkitaan tällaisia operaattoreita ja niiden teoriaan nivoutuvia kysymyksiä silloin kun yhdistettävät funktiot ovat säännöllisiä, ns. analyyttisiä funktioita kompleksitason yksikkökiekossa. Aihepiiriltään tutkimus sijoittuu siten kahden matemaattisen analyysin keskeisen osa-alueen - analyyttisten funktioiden teorian (funktioteorian) ja operaattoriteorian - leikkaukseen. Työ sisältää kolme erillistä artikkelia. Ensimmäinen artikkeli käsittelee analyyttisten funktioiden arvojen jakautumista. Aiemmassa kirjallisuudessa on esitetty kompositio-operaattorin symbolille kaksi varsin erilaista ehtoa, jotka kumpikin karakterisoivat, milloin vastaava operaattori on kompakti yksikkökiekon Hardy-avaruuksissa. Toisessa ehdossa esiintyy klassinen arvojenjakautumisteorian työkalu, Nevanlinnan lukumääräfunktio, kiekon sisällä ja toisessa symbolin indusoimat ns. Aleksandrovin (tai Clarkin) mitat kiekon reunalla. Artikkelissa selvitetään tarkasti näiden lähestymistapojen välinen funktioteoreettinen yhteys. Päätulos on reunavastaavuuslause, joka kertoo, että Aleksandrovin mitat voidaan tietyllä tavalla ymmärtää lukumääräfunktion raja-arvoiksi, kun lähestytään kiekon reunapisteitä kiekon sisältä. Toisessa ja kolmannessa artikkelissa tarkastellaan kysymystä, milloin kahden kompositio-operaattorin erotus on kompakti. Tällöin kyseiset operaattorit käyttäytyvät olennaisesti samalla tavalla. Toisessa artikkelissa tätä tutkitaan lähinnä kiekon Hardy-avaruuksissa ja pääasiallisena työkaluna käytetään vastaavien symbolien Aleksandrovin mittoja. Tulokset yleistävät osin yhden kompositio-operaattorin kompaktisuustuloksia. Toisaalta osoittautuu, että erotusten teoriassa on piirteitä, jotka eivät esiinny yhden operaattorin tapauksessa. Kolmannessa artikkelissa erotusten kompaktisuutta tutkitaan Bloch- ja Lipschitz-avaruuksissa. Saadut tulokset parantavat ja yleistävät aiemmassa kirjallisuudessa esitettyjä tuloksia. Tässä yhteydessä johdetaan myös yleinen karakterisaatio, joka kertoo, milloin kahden painotetun kompositio-operaattorin erotus on kompakti eräissä painotetuissa Hardy-tyyppisissä avaruuksissa.